Задача
ALG-B2-M11-P007 Сумма равна единице
#7
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(a+b+c=1\). Докажите \[\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac12.\]
Подсказка. Это задача 2 после нормировки.
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{a+b}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac12.\]
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.