Задача
ALG-B2-M10-P013 Циклические квадратные знаменатели
#13
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\ge\frac12.\]
Подсказка. Примените Cauchy в форме Энгеля, а затем сравните знаменатель с \(2(a+b+c)^2\).
По Cauchy, \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}.\] Осталось заметить, что \[2(a+b+c)^2-\bigl(2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca\bigr)=3(ab+bc+ca)\ge0.\] Поэтому знаменатель не превосходит \(2(a+b+c)^2\), и вся дробь не меньше \(\frac12\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.