Задача
ALG-B2-M10-P003 Квадраты против abc
#3
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[(a^2+b^2+c^2)^2\ge3abc(a+b+c).\]
Подсказка. Используйте две оценки: \(\sum a^2\ge ab+bc+ca\) и \((ab+bc+ca)^2\ge3abc(a+b+c)\).
Обозначим \(q=ab+bc+ca\). Тогда \(\sum a^2\ge q\), значит \((\sum a^2)^2\ge q^2\). С другой стороны, применяя \((x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)\) к \(x=ab\), \(y=bc\), \(z=ca\), получаем \(q^2\ge3abc(a+b+c)\).
Методическая цель: выбрать не один, а связку методов и обязательно проверить случай равенства.