Задача
ALG-B2-M09-P012 Произведение со сдвигом при abc
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(abc=1\). Докажите \[(1+a)(1+b)(1+c)\ge8.\]
Подсказка. Раскройте произведение и используйте \(a+b+c\ge3\), \(ab+bc+ca\ge3\).
Раскрываем: \((1+a)(1+b)(1+c)=1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc\). Так как \(abc=1\), \(a+b+c\ge3\) и \(ab+bc+ca\ge3\), получаем не меньше \(1+3+3+1=8\).
Смешивает фиксированное произведение и симметрические суммы.