Задача
ALG-B2-M09-P008 Произведение со сдвигом
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[(1+a)(1+b)(1+c)\le8.\]
Подсказка. Возьмите логарифм и примените Jensen к \(\ln(1+x)\).
Функция \(\ln(1+x)\) вогнута при \(x\ge0\). Поэтому \(\frac13\sum\ln(1+a)\le\ln(1+(a+b+c)/3)=\ln2\). Значит, \(\ln\prod(1+a)\le\ln8\), и произведение не больше \(8\).
Ограничение превращает задачу на произведение в задачу на вогнутый логарифм.