Задача
ALG-B2-M07-P019 Гомогенизируйте задачу
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=1\). Докажите \[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge\frac23.\] Затем запишите однородную версию этого неравенства без условия \(a+b+c=1\).
Подсказка. Используйте \(\sum a^2\ge q\) и \(p=1\).
Обозначим \(q=ab+bc+ca\). Так как \(\sum a^2\ge q\), имеем \(\sum a^2+q\ge2q\). Но \(q\) может быть меньше; удобнее использовать \(p^2=\sum a^2+2q=1\). Тогда \(\sum a^2+q=1-q\). Поскольку \(q\le1/3\), получаем \(1-q\ge2/3\). Однородная версия: \[\sum a^2+ab+bc+ca\ge\frac{2}{3}(a+b+c)^2.\]
Задача специально заставляет ученика гомогенизировать ответ.