Задача
ALG-B2-M06-P019 Максимум произведения через два равных
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\) и \(a+b+c=p\). Используя идею двух равных переменных, докажите \(abc\le\frac{p^3}{27}\).
Подсказка. Проверьте случай \(b=c=x\), \(a=p-2x\), и разложите \(\frac{p^3}{27}-(p-2x)x^2\).
По UVW для фиксированного \(p\) экстремум \(r=abc\) достигается при двух равных переменных или на границе. На границе \(r=0\). Пусть \(b=c=x\), \(a=p-2x\). Тогда \[ \frac{p^3}{27}-(p-2x)x^2=\frac{(p-3x)^2(p+6x)}{27}\ge0. \] Поэтому \(abc\le p^3/27\).
Та же оценка, что AM-GM, но теперь через UVW-логику.