Задача
ALG-B2-M05-P011 Сдвинутые обратные
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\) и \(a+b+c=6\). Докажите \[\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge1.\]
Подсказка. Функция \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) выпукла при \(x\ge0\).
По Йенсену \[\frac13\sum\frac{1}{1+a}\ge\frac{1}{1+(a+b+c)/3}=\frac{1}{3}.\] Умножив на \(3\), получаем требуемое.
Хорошая задача на распознавание функции со сдвигом.