Задача
ALG-B2-M05-P001 Среднее квадратов
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите для любых действительных \(a,b,c\): \[a^2+b^2+c^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}.\]
Подсказка. Возьмите \(f(x)=x^2\).
Функция \(x^2\) выпукла. По Йенсену \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\). Умножение на \(3\) даёт требуемое.
Базовая задача на направление Йенсена для выпуклой функции.