Задача
ALG-B2-M04-P020 Пятая степень в цикле
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[a^5+b^5+c^5\ge a^4b+b^4c+c^4a.\]
Подсказка. Это rearrangement для \(u_i^4\) и \(u_i\).
Упорядочим \(a,b,c\) как \(u_1\le u_2\le u_3\). Тогда \(u_i^4\) упорядочены так же. Максимум \(\sum u_i^4u_{\sigma(i)}\) равен \(\sum u_i^5\). Правая часть - одна из перестановок, следовательно, она не больше.
Повторяет идею на более высокой степени: полезно для автоматизации распознавания метода.