Задача
ALG-B2-M04-P010 Четвёртые степени
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[a^4+b^4+c^4\ge a^3b+b^3c+c^3a.\]
Подсказка. После упорядочивания сравните произведения \(u_i^3\cdot u_{\sigma(i)}\).
Упорядочим \(a,b,c\) как \(u_1\le u_2\le u_3\). Тогда \(u_1^3\le u_2^3\le u_3^3\). По rearrangement наибольшая сумма произведений \(u_i^3\cdot u_{\sigma(i)}\) равна \(u_1^4+u_2^4+u_3^4\). Правая часть - одна из таких перестановок.
Следите, чтобы ученик не пытался раскрывать всё в длинную факторизацию.