Задача
ALG-B2-M04-P005 Квадраты против смешанных произведений
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca.\]
Подсказка. Упорядочьте числа и сравните правильное попарное произведение с циклической перестановкой.
Упорядочим \(a,b,c\) как \(u_1\le u_2\le u_3\). По rearrangement сумма \(u_1^2+u_2^2+u_3^2\) максимальна среди \(\sum u_i u_{\sigma(i)}\). Сумма \(ab+bc+ca\) является одной из таких перестановок, значит она не больше суммы квадратов.
Можно также решить через сумму квадратов разностей, но здесь важно увидеть перестановочную природу.