Задача
ALG-B2-M03-P020 Четыре части знаменателя
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{2a+b+c}+\frac{b^2}{2b+c+a}+\frac{c^2}{2c+a+b}\ge\frac{a+b+c}{4}.\]
Подсказка 1. Сложите знаменатели.
Подсказка 2. Сумма знаменателей равна \(4(a+b+c)\).
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{2a+b+c}\ge\frac{(a+b+c)^2}{(2a+b+c)+(2b+c+a)+(2c+a+b)}=\frac{(a+b+c)^2}{4(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{4}.\]
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, bounds.