Задача
ALG-B2-M03-P016 Дробь с кубом
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c,d>0\), \(a+b+c+d=10\). Докажите \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^3}{a^2+b+c}\ge 5-\frac12(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+d}+\sqrt{d+a}).\]
Подсказка 1. Преобразуйте одну дробь: \(\frac{a^3}{a^2+b+c}=a-\frac{a(b+c)}{a^2+b+c}\).
Подсказка 2. Оцените знаменатель снизу через \(2a\sqrt{b+c}\).
Для каждого слагаемого \[\frac{a^3}{a^2+b+c}=a-\frac{a(b+c)}{a^2+b+c}\ge a-\frac{a(b+c)}{2a\sqrt{b+c}}=a-\frac{\sqrt{b+c}}2.\] Складывая четыре такие оценки и используя \(a+b+c+d=10\), получаем требуемое.
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, am-gm, bounds.