Задача
ALG-B2-M03-P011 Квадраты над суммами
#11
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\ge\frac{a+b+c}{3}.\]
Подсказка 1. Сумма знаменателей равна \(3(a+b+c)\).
Подсказка 2. Engel form даёт нужную оценку напрямую.
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{b+2c}\ge\frac{(a+b+c)^2}{(b+2c)+(c+2a)+(a+2b)}=\frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{3}.\]
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, bounds.