Задача
ALG-B2-M03-P009 Сумма с параметром
#9
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c>0\). Докажите \[\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{a+b+c}{3}.\]
Подсказка 1. Сумма знаменателей равна \(3(a+b+c)\).
Подсказка 2. Engel form работает напрямую.
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{a+2b}\ge\frac{(a+b+c)^2}{(a+2b)+(b+2c)+(c+2a)}=\frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{3}.\]
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, normalisation.