Задача
ALG-B2-M03-P006 Три квадратичных знаменателя
#6
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \[\frac{x^2}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^2}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^2}{z^2+zx+x^2}\ge\frac12.\]
Подсказка 1. Снова Engel form.
Подсказка 2. Оцените сумму знаменателей сверху через \(2(x+y+z)^2\).
По Cauchy левая часть не меньше \[\frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx}.\] Так как \(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx\le2(x+y+z)^2\), левая часть не меньше \(\frac12\).
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, bounds.