Задача
ALG-B2-M02-P024 Три строгих неравенства
Вещественные \(x,y,z\) удовлетворяют \[2x>y^2+z^2,\qquad 2y>z^2+x^2,\qquad 2z>x^2+y^2.\] Докажите, что \(x<1\), \(y<1\), \(z<1\).
Подсказка 1. Сложите два неравенства, чтобы ограничить третью переменную.
Подсказка 2. После преобразования появятся квадраты вида \((x-1)^2\).
Сложим первые два неравенства: \(2x+2y>x^2+y^2+2z^2\). Переносим всё в одну сторону: \[0>(x-1)^2+(y-1)^2+2(z^2-1).\] Так как первые два слагаемых неотрицательны, получаем \(z^2<1\), значит \(z<1\). Аналогично, складывая другие пары неравенств, получаем \(x<1\) и \(y<1\).
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: нужно выбрать правильные пары условий и выделить квадраты.
G. Почему это не одноходовая задача. Ни одно отдельное неравенство не ограничивает свою переменную сверху единицей.