Задача
ALG-B2-M02-P009 Три корня
#9
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\), \(a+b+c=1\). Докажите \[\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\sqrt{\frac32}.\]
Подсказка 1. Сначала примените Cauchy к сумме корней.
Подсказка 2. Затем используйте \(\sum a(b+c)\le\frac{2}{3}(a+b+c)^2\).
По Cauchy, \[\left(\sum\sqrt{\frac{a}{b+c}}\right)^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}.\] Знаменатель равен \(2(ab+bc+ca)\le\frac{2}{3}(a+b+c)^2=\frac23\). Поэтому квадрат суммы не меньше \(\frac{1}{2/3}=\frac32\), откуда следует требуемое.
Учебная задача модуля AM-GM. Методические теги: am-gm, bounds.