Задача
ALG-B2-M01-P025 Цепочка знаков
Числа \(a,b,c\) таковы, что \(a^2+b^2<(a-b)^2\) и \(b^2+c^2<(b-c)^2\). Докажите, что \(a^4+c^4<(a+c)^4\).
Подсказка 1. Раскройте первые два неравенства.
Подсказка 2. Сначала определите знаки \(ab\), \(bc\), затем \(ac\).
Из \(a^2+b^2<(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) следует \(ab<0\). Аналогично \(bc<0\). Значит, \(a\) и \(b\) разных знаков, \(b\) и \(c\) разных знаков, поэтому \(a\) и \(c\) одного знака и \(ac>0\). Тогда \[(a+c)^4-a^4-c^4=4a^3c+6a^2c^2+4ac^3=2ac(2a^2+3ac+2c^2)>0,\] поскольку \(ac>0\) и \(2a^2+3ac+2c^2>0\). Следовательно, \(a^4+c^4<(a+c)^4\).
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 6: задача короткая, но скрытый объект — знаки произведений.
G. Почему это не одноходовая задача. Раскрытие скобок только начинает решение; надо связать знаки в цепочку.