Задача
ALG-B2-M01-P020 Корни и интервал
Пусть \(b>0\), а квадратный трёхчлен \(x^2+ax+b\) имеет два различных действительных корня. Известно, что ровно один корень лежит на отрезке \([-1,1]\). Докажите, что ровно один корень лежит в интервале \((-b,b)\).
Подсказка 1. Обозначьте корни через \(r,s\).
Подсказка 2. Используйте \(rs=b>0\), значит корни одного знака.
Пусть корни \(r,s\), и пусть \(|r|\le1\), \(|s|>1\). Так можно считать, потому что ровно один корень лежит на \([-1,1]\). По Виету \(rs=b>0\), значит корни одного знака и \(b=|r||s|\). Так как \(|s|>1\), получаем \(|r|
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Финальный уровень 8: нужно связать расположение корней с произведением по Виету.
G. Почему это не одноходовая задача. Знак трёхчлена на концах отрезка не даёт сразу интервал \((-b,b)\).