Задача
ALG-B2-M01-P016 Круг положительных чисел
По кругу записаны \(120\) положительных чисел. Могло ли случиться, что каждое из них, кроме одного, равно модулю разности двух своих соседей?
Подсказка 1. Наибольшее число не может удовлетворять правилу.
Подсказка 2. Рассмотрите две дуги от минимального числа к максимальному.
Пусть \(M\) — наибольшее число. Оно не может равняться модулю разности соседей, потому что оба соседа положительны и не превосходят \(M\). Значит, именно \(M\) — единственное исключение.
Возьмём минимальное число \(d\). На одной дуге от \(d\) к \(M\) стоят \(d=a_0,a_1,\ldots,a_k=M\). Индукцией получаем \(a_{i+1}\ge a_i\), а так как \(a_i=|a_{i+1}-a_{i-1}|\), то на самом деле \(a_{i+1}=a_i+a_{i-1}\) для \(1\le i Число \(d\) тоже не является исключением, поэтому \(d=|a_1-b_1|\). Пусть \(b_1>a_1\). Тогда \(b_1=a_1+d=a_2\). Продолжая обе рекурсии, получаем цепочку \(a_0=b_0\le a_1
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: нужны экстремум, рекурсия на двух дугах и финальная проверка чётности.
G. Почему это не одноходовая задача. Сам факт, что максимум исключение, ещё не решает задачу; надо использовать всю циклическую структуру.