Задача
ALG-B2-M01-P014 Сравнение огромных произведений
Какое число больше: \((38!)!\) или \((37!)^{38!}\cdot(38!)^{37!}\)?
Подсказка 1. Обозначьте \(m=37!\). Тогда \(38!=38m\).
Подсказка 2. Разбейте произведение \(1\cdot2\cdots38m\) на блоки длины \(m\).
Пусть \(m=37!\). Тогда \(38!=38m\), и \((38!)!=(38m)!\). Разобьём произведение \(1\cdot2\cdots38m\) на \(38\) блоков длины \(m\): в \(j\)-м блоке все множители не превосходят \(jm\), причём хотя бы один меньше \(jm\). Поэтому произведение \(j\)-го блока строго меньше \((jm)^m\). Перемножая по \(j=1,\ldots,38\), получаем \[(38m)!
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: надо заменить невозможное прямое сравнение блоковой оценкой.
G. Почему это не одноходовая задача. Задача не решается вычислением факториалов; нужен контроль каждого блока.