Задача
ALG-B2-M01-P008 Нулевая сумма
#8
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите, что \(ab+bc+ca\le0\). Когда возможно равенство?
Подсказка 1. Возведите \(a+b+c\) в квадрат.
Подсказка 2. Используйте \(0=(a+b+c)^2\).
Так как \(a+b+c=0\), то \[0=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca).\] Следовательно, \[ab+bc+ca=-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\le0.\] Равенство возможно только при \(a=b=c=0\).
Учебная задача модуля. Методические теги: squares, normalisation, equality-case.