Задача
ALG-B2-M01-P001 Сумма трёх квадратов
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что для любых действительных \(a,b,c\) выполняется \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
Подсказка 1. Умножьте разность на \(2\).
Подсказка 2. Попробуйте получить сумму квадратов разностей.
Имеем \[2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0.\] Поэтому исходное неравенство верно. Равенство достигается тогда и только тогда, когда \(a=b=c\).
Учебная задача модуля. Методические теги: squares, equality-case.