Задача
ALG-B1-M08-P012 Квадратичная добавка
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\). Найдите \(f(n)\).
Положите \(g(n)=f(n)-n^2\).
Пусть \(g(n)=f(n)-n^2\). Тогда \(g(m+n)=f(m+n)-(m+n)^2=f(m)-m^2+f(n)-n^2=g(m)+g(n)\). Значит, \(g\) аддитивна на \(\mathbb Z\).
Кроме того, \(g(1)=f(1)-1=0\). Поэтому \(g(n)=0\) для всех \(n\in\mathbb Z\), и \(f(n)=n^2\).
Ключевой ход — вычесть ожидаемую квадратичную часть.