Задача
ALG-B1-M08-P007 Аддитивность на рациональных
#7
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(1)=3\). Докажите, что \(f(q)=3q\) для всех \(q\in\mathbb Q\).
Для \(q=\frac{m}{n}\) используйте \(nq=m\).
Для целого \(m\) имеем \(f(m)=3m\). Пусть \(q=\frac{m}{n}\), \(n>0\). Тогда \(n f(q)=f(nq)=f(m)=3m\), откуда \(f(q)=\frac{3m}{n}=3q\).
Хорошо отделяет \(\mathbb Q\) от \(\mathbb R\), где нужны дополнительные условия.