Задача
ALG-B1-M07-P019 Скрытый Несбитт
#19
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=1\). Докажите \[\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\ge\frac{3}{2}.\]
Замените \(1-a\) на \(b+c\), и аналогично.
Так как \(a+b+c=1\), имеем \(1-a=b+c\), \(1-b=c+a\), \(1-c=a+b\). Поэтому неравенство превращается в \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\), то есть в неравенство Несбитта.
Скрытая форма знакомого неравенства.