Задача
ALG-B1-M07-P017 Сумма с соседними знаменателями
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}.\]
Примените Коши в форме Энгеля ко всей сумме.
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{(y+z)+(z+x)+(x+y)}=\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\). Равенство при \(x=y=z\).
Это классический шаблон: квадрат числителя над суммой двух других переменных.