Задача
ALG-B1-M06-P025 Одна иррациональная величина
По кругу записали \(2028\) попарно различных ненулевых иррациональных чисел. Для каждой пары соседних чисел \(u\) и \(v\) вычислили \(\frac{uv}{u-v}\). Может ли ровно одно из \(2028\) полученных значений быть иррациональным?
Посмотрите на обратное число к \(\frac{uv}{u-v}\).
Ответ: не может.
Для соседних чисел \(u\neq v\) имеем \[\left(\frac{uv}{u-v}\right)^{-1}=\frac{u-v}{uv}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}.\] Поэтому значение \(\frac{uv}{u-v}\) рационально тогда и только тогда, когда рациональна разность \(\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\).
Предположим, что все значения рациональны, кроме, возможно, значения для пары \(a_{2028},a_1\). Тогда разности \(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_1}\), \(\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_2}\), ..., \(\frac{1}{a_{2028}}-\frac{1}{a_{2027}}\) рациональны. Их сумма равна \(\frac{1}{a_{2028}}-\frac{1}{a_1}\), значит она тоже рациональна.
Следовательно, значение \(\frac{a_{2028}a_1}{a_{2028}-a_1}\) рационально. Это противоречит предположению, что ровно одно значение иррационально.
Анализ источника: объекты — числа на цикле и рациональность соседнего выражения; первый подход — работать с дробью напрямую; скрытое наблюдение — обратная дробь превращается в разность обратных; ключевые идеи — замена и телескопическая сумма по цепочке. Размер цикла изменён, формулировка переписана.