Задача
ALG-B1-M06-P016 Все переменные равны
#16
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a+b+c=3\) и \(a^2+b^2+c^2=3\). Докажите, что \(a=b=c=1\).
Рассмотрите сумму \((a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\).
Имеем \((a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=a^2+b^2+c^2-2(a+b+c)+3=3-6+3=0\).
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю. Поэтому \(a=b=c=1\).
Здесь полезно не просто раскрывать, а угадать центр квадратов.