Задача
ALG-B1-M06-P014 Дроби при нулевой сумме
#14
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(x,y,z\neq 0\), \(x+y+z=0\), и ни один из знаменателей ниже не равен нулю. Докажите, что \[\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=-3.\]
Замените \(y+z\), \(z+x\), \(x+y\) через противоположные переменные.
Так как \(x+y+z=0\), то \(y+z=-x\), \(z+x=-y\), \(x+y=-z\). Поэтому сумма равна \(\frac{x}{-x}+\frac{y}{-y}+\frac{z}{-z}=-1-1-1=-3\).
Важно, чтобы ученик не приводил к общему знаменателю без необходимости.