Задача
ALG-B1-M04-P023 Три общие прямые
Пусть \(P,Q\) — квадратные многочлены. Для каждого натурального \(n\) проведена прямая \(L_n: y=P(n)x+Q(n)\). Если три различные прямые \(L_k,L_m,L_s\) проходят через одну точку, докажите, что все прямые \(L_n\) проходят через одну точку.
Абсцисса пересечения \(L_k\) и \(L_m\) выражается через \(k+m\).
Пусть \(P(n)=an^2+bn+c\), \(Q(n)=un^2+vn+w\). Если \(P(k)\ne P(m)\), абсцисса пересечения \(L_k,L_m\) равна
\[x_{km}=\frac{Q(m)-Q(k)}{P(k)-P(m)}=-\frac{u(k+m)+v}{a(k+m)+b}.\]
Если три прямые \(L_k,L_m,L_s\) проходят через одну точку, то \(x_{km}=x_{ks}\). Так как \(m\ne s\), из равенства дробей следует \(ub-av=0\), и тогда выражение для \(x_{km}\) не зависит от \(k,m\). Значит, все пары прямых пересекаются при одной и той же абсциссе \(x_0\).
Подставляя \(x_0\), получаем, что значения \(P(n)x_0+Q(n)\) одинаковы для трёх разных \(n\). Это квадратный многочлен от \(n\), имеющий три равных значения после вычитания константы, значит он постоянен. Поэтому все \(L_n\) проходят через одну точку.
Сохранена идея: пересечение выражается рациональной функцией от суммы индексов, затем используется тождественность квадратного многочлена.