ALG-B1-M04-P019 Ширина параболы

Вершина находится посередине между корнями и имеет ординату \(-1\).

Ось параболы проходит через середину корней, то есть \(c=\frac{a+b}{2}\), а вершина имеет координаты \((c,-1)\). Поэтому \(y=\lambda(x-c)^2-1\). Подстановка \(x=a\) даёт \(0=\lambda\left(\frac{b-a}{2}\right)^2-1\), значит \(\lambda=\frac{4}{(b-a)^2}\).

Для двух парабол получаем уравнение общих точек: \(\frac{4}{w_1^2}(x-c_1)^2=\frac{4}{w_2^2}(x-c_2)^2\). Оно равносильно двум линейным уравнениям \(\frac{x-c_1}{w_1}=\pm\frac{x-c_2}{w_2}\). Если \(w_1\ne w_2\) и \(c_1\ne c_2\), оба дают по одному разному решению. Если совпадает ширина или ось, одно решение сливается или исчезает, и остаётся ровно одна общая точка.

Это локальная версия графовой задачи: главное — алгебра параметров параболы.