Задача
ALG-B1-M02-P014 Простота выражения Софи Жермен
#14
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все натуральные пары \(x,y\), для которых \(x^4+4y^4\) является простым числом.
Используйте разложение \(x^4+4y^4\) и выясните, когда первый множитель может быть равен \(1\).
Имеем \(x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)\).
Первый множитель равен \((x-y)^2+y^2\). Для натуральных \(x,y\) он равен \(1\) только при \(y=1\) и \(x=y\), то есть \(x=y=1\).
Тогда число равно \(5\), оно простое. Во всех остальных случаях оба множителя больше \(1\), и число составное. Ответ: \((1,1)\).
Уровень повышается из-за анализа нетривиальности множителей.