Теория курса

Геометрия. Книга 1

Book 1. Foundations of Olympiad Geometry

  • 1. Углы, прямые и параллельные прямые
  • 2. Треугольники I: равенство треугольников
  • 3. Треугольники II: подобие
  • 4. Четырёхугольники
  • 5. Окружности I: базовая геометрия окружности
  • 6. Площади I
  • 7. Базовые построения и вспомогательные линии
  • 8. Смешанные задачи I
Назад к курсу

Глава

Углы, прямые и параллельные прямые

Модуль учит уверенно работать с вертикальными и смежными углами, параллельными прямыми, суммой углов треугольника, внешним углом и первыми задачами на последовательную погоню за углами.

Ключевая идея

В задачах на углы важно не угадывать рисунок, а строить цепочку равенств. Один найденный угол часто немедленно даёт следующий: через смежный угол, вертикальный угол, параллельные прямые, сумму углов треугольника или внешний угол.

Метод называют погоней за углами: мы записываем известные углы, переносим их по параллельным прямым и постепенно добираемся до нужного угла или нужной параллельности.

Основные факты

Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\). Вертикальные углы равны. Если две прямые пересечены третьей, то при параллельных прямых накрест лежащие углы равны, соответствующие углы равны, а внутренние односторонние углы в сумме дают \(180^\circ\).

Верно и обратное: если при пересечении двух прямых третьей равны накрест лежащие или соответствующие углы, то прямые параллельны. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Когда применять метод

Применяйте погоню за углами, когда в условии есть параллельные прямые, биссектрисы, внешние углы, продолжения сторон, равнобедренные треугольники или требуется доказать параллельность.

Если нужно доказать, что две прямые параллельны, ищите равные накрест лежащие или соответствующие углы. Если нужно найти угол в треугольнике, сначала используйте сумму углов и внешние углы.

Как распознать метод

Признаки метода: на рисунке есть секущая, несколько прямых образуют зигзаг, один угол явно переносится в другое место, или в условии даны отношения углов. Часто полезно подписать все известные углы прямо на чертеже.

Если угол стоит при прямой, сразу проверьте смежный. Если две прямые похожи на параллельные, попробуйте найти пару накрест лежащих углов.

Типичные ошибки

Нельзя считать прямые параллельными только потому, что они выглядят параллельными на рисунке. Нельзя переносить углы без указания параллельных прямых или вертикальных углов.

Частая ошибка: путать внешний угол с углом, смежным с ним. Внешний угол равен сумме двух удалённых внутренних углов, а не всей сумме углов треугольника.

Мини-чеклист

1. Отметьте все данные углы. 2. Используйте смежные и вертикальные углы. 3. Перенесите углы по параллельным прямым. 4. В каждом треугольнике проверьте сумму \(180^\circ\). 5. Для доказательства параллельности найдите равные накрест лежащие или соответствующие углы. 6. В конце проверьте, что не использовали свойство, которое ещё не доказано.

Пример 1. Смежные и вертикальные углы

Этот пример отрабатывает самый первый шаг: угол на прямой и вертикальный угол.

Задача. Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(\angle AOC=68^\circ\). Найдите остальные три угла.

Решение.

Вертикальный угол равен данному, поэтому \(\angle BOD=68^\circ\). Угол \(\angle AOD\) смежен с \(\angle AOC\), значит \(\angle AOD=180^\circ-68^\circ=112^\circ\). Вертикальный к нему угол \(\angle BOC\) тоже равен \(112^\circ\).

Комментарий. В задачах такого типа сначала ищем вертикальные углы, затем смежные.

Пример 2. Внешний угол треугольника

Здесь внешний угол позволяет найти угол без лишних вычислений.

Задача. В треугольнике \(ABC\) внешний угол при вершине \(C\) равен \(128^\circ\), а \(\angle A=47^\circ\). Найдите \(\angle B\) и \(\angle C\).

Решение.

Внешний угол при \(C\) равен сумме двух удалённых внутренних углов: \(128^\circ=\angle A+\angle B\). Поэтому \(\angle B=128^\circ-47^\circ=81^\circ\). Внутренний угол при \(C\) смежен с внешним, значит \(\angle C=180^\circ-128^\circ=52^\circ\).

Пример 3. Перенос углов по параллельным прямым

Пример показывает, как секущая переносит угол с одной прямой на другую.

Задача. Прямые \(a\) и \(b\) параллельны. Секущая пересекает их в точках \(A\) и \(B\). Один из внутренних накрест лежащих углов равен \(73^\circ\). Найдите второй накрест лежащий угол и внутренний односторонний с ним угол.

Решение.

При параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны, поэтому второй такой угол равен \(73^\circ\). Внутренние односторонние углы в сумме дают \(180^\circ\), значит нужный угол равен \(180^\circ-73^\circ=107^\circ\).

Пример 4. Как доказать параллельность

Иногда параллельность не дана, а её надо получить из равенства углов.

Задача. Прямые \(AC\) и \(BD\) пересечены прямой \(AB\). Известно, что \(\angle CAB=\angle ABD\). Докажите, что \(AC\parallel BD\).

Решение.

Углы \(\angle CAB\) и \(\angle ABD\) являются накрест лежащими при прямых \(AC\) и \(BD\) и секущей \(AB\). Они равны по условию. По признаку параллельности прямых получаем \(AC\parallel BD\).

Пример 5. Биссектрисы односторонних углов

Это стандартная конструкция: сумма углов равна \(180^\circ\), значит сумма половин равна \(90^\circ\).

Задача. Две параллельные прямые пересечены третьей. Докажите, что биссектрисы двух внутренних односторонних углов перпендикулярны.

Решение.

Пусть внутренние односторонние углы равны \(\alpha\) и \(\beta\). Тогда \(\alpha+\beta=180^\circ\). Их биссектрисы образуют с секущей углы \(\frac{\alpha}{2}\) и \(\frac{\beta}{2}\), а сумма этих углов равна \(90^\circ\). В треугольнике, образованном двумя биссектрисами и секущей, третий угол равен \(90^\circ\). Следовательно, биссектрисы перпендикулярны.

Пример 6. Высота и биссектриса из одной вершины

Пример учит выражать неизвестный угол через два угла треугольника.

Задача. В треугольнике \(ABC\) из вершины \(A\) проведены высота \(AH\) и биссектриса \(AL\). Докажите, что угол между ними равен половине разности углов \(B\) и \(C\).

Решение.

Пусть \(\angle B=\beta\), \(\angle C=\gamma\), и для определённости \(\beta>\gamma\). Тогда \(\angle A=180^\circ-\beta-\gamma\), поэтому \(\angle BAL=\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}\). Так как \(AH\perp BC\), угол между \(AB\) и \(AH\) равен \(90^\circ-\beta\). Следовательно, угол между \(AH\) и \(AL\) равен \(\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}-(90^\circ-\beta)=\frac{\beta-\gamma}{2}\). Если \(\gamma>\beta\), получаем \(\frac{\gamma-\beta}{2}\).

Пример 7. Внешняя биссектриса и равнобедренный треугольник

Здесь параллельность распознаётся через равные углы при основании.

Задача. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=AC\). Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине \(A\) параллельна основанию \(BC\).

Решение.

Пусть \(\angle B=\angle C=\beta\). Тогда \(\angle A=180^\circ-2\beta\), а внешний угол при \(A\) равен \(2\beta\). Его биссектриса образует со стороной \(AB\) угол \(\beta\). Этот угол равен \(\angle ABC\), поэтому по признаку параллельности биссектриса внешнего угла параллельна \(BC\).

Пример 8. Скрытый угол в параллельных прямых

Финальный пример показывает, как построенная параллельная прямая превращает задачу в обычную погоню за углами.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на стороне \(BC\). Через \(D\) проведены прямые \(DE\parallel AB\) и \(DF\parallel AC\), где \(E\in AC\), \(F\in AB\). Докажите: если \(AD\) биссектриса угла \(A\), то \(AD\) биссектриса угла \(EDF\).

Решение.

Так как \(DE\parallel AB\), угол между \(DE\) и \(AD\) равен углу между \(AB\) и \(AD\), то есть \(\angle BAD\). Так как \(DF\parallel AC\), угол между \(AD\) и \(DF\) равен \(\angle DAC\). По условию \(AD\) биссектриса угла \(A\), значит \(\angle BAD=\angle DAC\). Поэтому \(AD\) делит угол \(EDF\) на две равные части.

Глава

Треугольники I: равенство треугольников

Модуль учит распознавать равные треугольники, применять признаки SSS, SAS, ASA, работать с равнобедренными треугольниками, медианами, биссектрисами и первыми вспомогательными построениями.

Ключевая идея

Равенство треугольников позволяет переносить информацию: если два треугольника равны, то их соответствующие стороны, углы, медианы, высоты и биссектрисы равны. В олимпиадных задачах равные треугольники часто не видны сразу: их нужно выделить на рисунке или получить с помощью вспомогательной линии.

Главный навык этого модуля — не просто знать признаки равенства, а правильно выбрать пару треугольников и точно указать соответствующие элементы.

Основные факты

Признак SAS: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Признак ASA: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Признак SSS: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также биссектрисой и высотой. Обратно: если в треугольнике два угла равны, то равны и противолежащие им стороны.

Когда применять метод

Ищите равные треугольники, когда надо доказать равенство отрезков или углов, перпендикулярность, серединность, симметрию, свойства медианы или биссектрисы. Особенно часто метод работает, если есть общая сторона, вертикальные углы, середина отрезка, биссектриса, высота или равные отрезки на разных лучах.

Если нужных треугольников нет, попробуйте соединить две точки, продлить сторону, отложить равный отрезок или провести прямую через середину.

Как распознать метод

Задача обычно просит доказать \(AB=CD\), \(\angle A=\angle D\), что точка является серединой, или что прямая является биссектрисой/высотой. Это сигнал: найдите два треугольника, в которых нужные элементы будут соответствующими.

Полезный приём: сначала отметьте равные элементы на рисунке, затем ищите треугольники, у которых уже есть три элемента для одного из признаков равенства.

Типичные ошибки

Нельзя писать “треугольники равны”, не указав признак и соответствующие элементы. Нельзя применять SAS, если равный угол не заключён между двумя равными сторонами. Нельзя путать порядок вершин: запись \(\triangle ABC=\triangle DEF\) означает, что \(A\) соответствует \(D\), \(B\) соответствует \(E\), \(C\) соответствует \(F\).

Ещё одна ошибка — доказывать равенство элемента, уже используя его как известное. В решении сначала должны идти основания равенства треугольников, а только потом выводы.

Мини-чеклист

1. Что нужно доказать: равенство сторон, углов, серединность или перпендикулярность? 2. В каких двух треугольниках это станет соответствующими элементами? 3. Есть ли общая сторона или вертикальные углы? 4. Какой признак подходит: SAS, ASA или SSS? 5. Не перепутан ли порядок соответствующих вершин? 6. Если треугольников не хватает, какую вспомогательную линию стоит провести?

Пример 1. Признак SAS

Первый пример показывает, как доказывать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Задача. В треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) известно, что \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle BAC=\angle B_1A_1C_1\). Докажите, что \(BC=B_1C_1\).

Решение.

Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по признаку SAS: две стороны и угол между ними соответственно равны. Поэтому соответствующие третьи стороны равны: \(BC=B_1C_1\).

Пример 2. Признак ASA

Здесь важно увидеть, что равная сторона лежит между двумя равными углами.

Задача. В треугольниках \(ABC\) и \(DEF\) дано: \(AB=DE\), \(\angle A=\angle D\), \(\angle B=\angle E\). Докажите, что \(AC=DF\) и \(BC=EF\).

Решение.

Сторона \(AB\) прилежит к углам \(A\) и \(B\), а сторона \(DE\) прилежит к углам \(D\) и \(E\). По признаку ASA треугольники \(ABC\) и \(DEF\) равны. Следовательно, соответствующие стороны равны: \(AC=DF\), \(BC=EF\).

Пример 3. Равнобедренный треугольник

Этот пример связывает равные стороны и равные углы.

Задача. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=AC\), а \(\angle A=44^\circ\). Найдите углы \(B\) и \(C\).

Решение.

Так как \(AB=AC\), треугольник равнобедренный, и \(\angle B=\angle C\). Тогда \(\angle B+\angle C=180^\circ-44^\circ=136^\circ\), значит \(\angle B=\angle C=68^\circ\).

Пример 4. Медиана к основанию

Медиана в равнобедренном треугольнике даёт сразу два свойства: биссектрису и высоту.

Задача. В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=AC\). Точка \(M\) — середина \(BC\). Докажите, что \(AM\perp BC\) и \(\angle BAM=\angle MAC\).

Решение.

Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(ACM\). Имеем \(AB=AC\), \(BM=CM\), а \(AM\) — общая сторона. По признаку SSS треугольники равны. Значит \(\angle BAM=\angle MAC\), то есть \(AM\) — биссектриса. Кроме того, \(\angle AMB=\angle AMC\). Эти углы смежные, поэтому каждый равен \(90^\circ\). Следовательно, \(AM\perp BC\).

Пример 5. Биссектриса и высота

Обратное рассуждение: если одна линия делит угол пополам и одновременно перпендикулярна противоположной стороне, то треугольник равнобедренный.

Задача. В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AD\) угла \(A\) перпендикулярна \(BC\). Докажите, что \(AB=AC\).

Решение.

Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) прямоугольные, потому что \(AD\perp BC\). У них сторона \(AD\) общая, а \(\angle BAD=\angle DAC\), так как \(AD\) — биссектриса. По признаку ASA треугольники равны. Поэтому соответствующие гипотенузы равны: \(AB=AC\).

Комментарий. Здесь равенство треугольников доказывает равнобедренность, а не наоборот.

Пример 6. Продление медианы

Вспомогательная точка часто создаёт пару равных треугольников.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\). На луче \(AM\) за точку \(M\) выбрана точка \(P\) так, что \(MP=AM\). Докажите, что \(BP=AC\) и \(CP=AB\).

Решение.

Так как \(M\) — середина \(BC\), имеем \(BM=CM\). Также \(AM=MP\). Углы \(AMB\) и \(PMC\) вертикальные, поэтому равны. Значит \(\triangle AMB=\triangle PMC\) по SAS, откуда \(AB=CP\). Аналогично \(\triangle AMC=\triangle PMB\), поэтому \(AC=BP\).

Пример 7. Скрытые равные треугольники

Иногда равные треугольники появляются после вычитания равных отрезков.

Задача. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB=AC\). На сторонах \(AB\) и \(AC\) взяты точки \(D\) и \(E\) так, что \(BD=CE\). Докажите, что \(DE\parallel BC\).

Решение.

Из \(AB=AC\) и \(BD=CE\) следует \(AD=AE\). Значит треугольник \(ADE\) равнобедренный, и \(\angle ADE=\angle DEA\). Треугольник \(ABC\) тоже равнобедренный, поэтому \(\angle ABC=\angle BCA\). Кроме того, оба треугольника имеют общий угол при \(A\), значит их углы при основаниях равны. Следовательно, \(\angle ADE=\angle ABC\), а значит \(DE\parallel BC\).

Пример 8. Кайт и диагональ

Финальный пример показывает, как одна диагональ может быть осью симметрии.

Задача. В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB=AD\) и \(CB=CD\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(AC\perp BD\) и \(BO=DO\).

Решение.

Сначала рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\). У них \(AB=AD\), \(CB=CD\), \(AC\) общая, поэтому они равны по SSS. Отсюда \(\angle BAC=\angle CAD\), то есть \(AC\) делит угол \(BAD\) пополам. Теперь в треугольниках \(ABO\) и \(ADO\): \(AB=AD\), \(AO\) общая, \(\angle BAO=\angle OAD\). По SAS они равны, значит \(BO=DO\) и \(\angle AOB=\angle AOD\). Эти углы смежные, поэтому каждый равен \(90^\circ\). Значит \(AC\perp BD\).

Глава

Треугольники II: подобие

Модуль вводит подобие треугольников, признаки AA, SAS и SSS, пропорции, среднюю линию треугольника и отношение площадей подобных фигур.

Ключевая идея

Подобие позволяет сравнивать фигуры одинаковой формы, но разного размера. Если два треугольника подобны, то их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

В олимпиадной геометрии подобие часто появляется там, где есть параллельные прямые, общие углы, прямые углы, высоты или маленький треугольник внутри большого.

Основные факты

Признак AA: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Признак SAS: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то треугольники подобны. Признак SSS: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.

Если \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\), то \(\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CA}{C_1A_1}\). Это общее отношение называют коэффициентом подобия. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Когда применять метод

Ищите подобие, когда в задаче есть параллельная прямая внутри треугольника, высота в прямоугольном треугольнике, отношение отрезков, масштаб, тени, средние линии или требуется найти длину через пропорцию.

Подобие особенно полезно, когда равенства сторон не хватает, но есть равенства углов и пропорции.

Как распознать метод

Признаки подобия: два треугольника имеют общий угол; одна сторона проведена параллельно другой; в прямоугольных треугольниках есть ещё один общий острый угол; на сторонах одного угла отмечены пропорциональные отрезки.

Хорошая привычка: сначала записать соответствие вершин, например \(\triangle ADE\sim\triangle ABC\), а уже потом писать пропорции.

Типичные ошибки

Нельзя писать пропорции без правильного соответствия вершин. Нельзя смешивать стороны из разных мест: если \(\triangle ADE\sim\triangle ABC\), то \(AD\) соответствует \(AB\), \(AE\) соответствует \(AC\), \(DE\) соответствует \(BC\).

В задачах на площади часто забывают возвести коэффициент подобия в квадрат. Если длины относятся как \(2:3\), площади относятся как \(4:9\).

Мини-чеклист

1. Какие два треугольника сравниваем? 2. Как соответствуют вершины? 3. Есть ли два равных угла для AA? 4. Если используются стороны, записаны ли они в правильном порядке? 5. Что ищем: длину, отношение или площадь? 6. Для площадей не забыть квадрат коэффициента.

Пример 1. Подобие по двум углам

Базовая техника: два равных угла уже дают подобие.

Задача. В треугольниках \(ABC\) и \(DEF\) известно, что \(\angle A=\angle D\), \(\angle B=\angle E\), \(AB=6\), \(DE=9\), \(AC=8\). Найдите \(DF\).

Решение.

По признаку AA треугольники подобны: \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\). Сторона \(AB\) соответствует \(DE\), а \(AC\) соответствует \(DF\). Коэффициент перехода от первого треугольника ко второму равен \(\frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\). Поэтому \(DF=8\cdot\frac{3}{2}=12\).

Пример 2. Параллельная прямая в треугольнике

Параллельная сторона создаёт маленький треугольник, подобный большому.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точки \(D\in AB\), \(E\in AC\), причём \(DE\parallel BC\). Известно, что \(AD:DB=2:3\), \(BC=20\). Найдите \(DE\).

Решение.

Так как \(DE\parallel BC\), имеем \(\triangle ADE\sim\triangle ABC\). Отношение \(AD:AB=2:(2+3)=2:5\). Значит \(\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}\), откуда \(DE=20\cdot\frac{2}{5}=8\).

Пример 3. Средняя линия

Средняя линия — первое важное следствие подобия и параллельных прямых.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Докажите, что \(MN\parallel BC\) и найдите \(MN\), если \(BC=14\).

Решение.

Так как \(AM=MB\) и \(AN=NC\), имеем \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}\). По признаку SAS треугольники \(AMN\) и \(ABC\) подобны. Поэтому соответствующие стороны \(MN\) и \(BC\) параллельны, а \(MN=\frac{1}{2}BC=7\).

Пример 4. Площади подобных треугольников

Если стороны увеличились в \(k\) раз, площадь увеличилась в \(k^2\) раз.

Задача. Треугольники \(ABC\) и \(DEF\) подобны, причём \(AB:DE=2:5\). Площадь \(ABC\) равна \(24\). Найдите площадь \(DEF\).

Решение.

Отношение соответствующих сторон от \(ABC\) к \(DEF\) равно \(2:5\), значит площади относятся как \(4:25\). Поэтому \(S_{DEF}=24\cdot\frac{25}{4}=150\).

Пример 5. Высота в прямоугольном треугольнике

Высота к гипотенузе создаёт три подобных прямоугольных треугольника.

Задача. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(CH\) — высота к гипотенузе \(AB\). Известно, что \(AH=4\), \(HB=9\). Найдите \(CH\).

Решение.

Треугольники \(ACH\) и \(CBH\) подобны: оба прямоугольные, а их острые углы дополняют друг друга как углы исходного треугольника. Из подобия следует \(\frac{CH}{AH}=\frac{HB}{CH}\), поэтому \(CH^2=AH\cdot HB=4\cdot9=36\). Значит \(CH=6\).

Пример 6. Измерение высоты по тени

Практическая модель подобия: лучи солнца считаются параллельными.

Задача. Вертикальная палка высотой \(1.6\) м даёт тень длиной \(2\) м. В тот же момент дерево даёт тень длиной \(11\) м. Найдите высоту дерева.

Решение.

Треугольники, образованные палкой и её тенью, и деревом и его тенью, подобны по двум углам: оба прямоугольные и имеют одинаковый угол падения солнечных лучей. Пусть высота дерева равна \(h\). Тогда \(\frac{h}{11}=\frac{1.6}{2}\), откуда \(h=8.8\) м.

Пример 7. Подобие по двум сторонам и углу

Этот пример показывает, что углов может быть меньше двух, если есть пропорция сторон.

Задача. В треугольниках \(ABC\) и \(DEF\) дано: \(\angle A=\angle D\), \(AB:DE=AC:DF=2:3\). Докажите, что треугольники подобны.

Решение.

Две стороны, заключающие равные углы, пропорциональны: \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\). Углы между этими сторонами равны. Поэтому \(\triangle ABC\sim\triangle DEF\) по признаку SAS подобия.

Пример 8. Медианы пересекаются в отношении \(2:1\)

Олимпиадная подготовка: средняя линия помогает доказать важное свойство медиан.

Задача. В треугольнике \(ABC\) медианы \(BM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(G\). Докажите, что \(BG:GM=CG:GN=2:1\).

Решение.

Пусть \(P\) и \(Q\) — середины отрезков \(BG\) и \(CG\). Тогда \(PQ\) — средняя линия треугольника \(BCG\), поэтому \(PQ\parallel BC\) и \(PQ=\frac{1}{2}BC\). Также \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), значит \(MN\parallel BC\) и \(MN=\frac{1}{2}BC\). Следовательно, \(PQ\parallel MN\) и \(PQ=MN\), поэтому четырёхугольник \(MNPQ\) — параллелограмм. Его диагонали делятся пополам, значит \(G\) — середина \(MP\) и \(NQ\). Так как \(P\) — середина \(BG\), получаем \(BG=2GP=2GM\). Аналогично \(CG=2GN\).

Глава

Четырёхугольники

Модуль учит работать с параллелограммами, прямоугольниками, ромбами, квадратами, трапециями, средней линией трапеции и первыми признаками циклического четырёхугольника.

Ключевая идея

Четырёхугольник редко решают как одну фигуру целиком. Обычно его разрезают диагональю на два треугольника, используют параллельные прямые или смотрят на пересечение диагоналей.

В олимпиадных задачах важно не только знать свойства параллелограмма, ромба или трапеции, но и уметь доказывать, что данный четырёхугольник имеет нужный тип.

Основные факты

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Полезные признаки параллелограмма: обе пары противоположных сторон параллельны; обе пары противоположных сторон равны; одна пара противоположных сторон одновременно равна и параллельна; диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом. Ромб — параллелограмм с равными соседними сторонами. Квадрат — одновременно прямоугольник и ромб.

В трапеции одна пара противоположных сторон параллельна. Если основания трапеции равны \(a\) и \(b\), то средняя линия равна \(\frac{a+b}{2}\) и параллельна основаниям.

Предварительный факт об окружности: если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), то его вершины лежат на одной окружности. Обратно, у циклического четырёхугольника противоположные углы дополняют друг друга до \(180^\circ\).

Когда применять метод

Используйте свойства четырёхугольников, когда в задаче есть две пары параллельных прямых, середины сторон, диагонали, трапеция, равные основания или требуется доказать параллельность.

Если нужно доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, часто проще проверить диагонали или одну пару равных и параллельных сторон, чем напрямую доказывать две пары параллельных сторон.

Как распознать метод

Сигналы параллелограмма: точка пересечения диагоналей, середины, симметричные отрезки, две параллельные прямые и равные отрезки на них. Сигналы трапеции: одна пара параллельных сторон, середины боковых сторон, диагонали и линия, параллельная основаниям.

Сигналы циклического четырёхугольника: равные углы, смотрящие на один и тот же отрезок, или сумма противоположных углов \(180^\circ\). В этом модуле это только предварительный инструмент, но он уже помогает в доказательствах.

Типичные ошибки

Нельзя считать четырёхугольник параллелограммом только потому, что на рисунке стороны выглядят параллельными. Нельзя использовать свойства прямоугольника, пока не доказан прямой угол или равенство диагоналей в параллелограмме.

В трапеции важно не перепутать основания и боковые стороны. Средняя линия соединяет середины боковых сторон, а не любые две точки на сторонах.

Для циклического четырёхугольника равенство одной пары углов само по себе не всегда достаточно: нужно понимать, какие отрезки эти углы опирают или использовать сумму противоположных углов.

Мини-чеклист

1. Какие стороны параллельны? 2. Есть ли середины или диагонали? 3. Можно ли доказать параллелограмм через диагонали? 4. Не является ли параллелограмм прямоугольником или ромбом? 5. В трапеции найдены ли середины боковых сторон? 6. Для окружности проверена ли сумма противоположных углов \(180^\circ\)?

Пример 1. Параллелограмм через диагонали

Базовая идея: если диагонали делятся пополам, то это уже сильный признак параллелограмма.

Задача. В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AO=OC\) и \(BO=OD\). Докажите, что \(ABCD\) — параллелограмм.

Решение.

Точка \(O\) является серединой обеих диагоналей. По признаку параллелограмма: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит \(ABCD\) — параллелограмм.

Комментарий. Этот признак часто самый короткий путь к доказательству параллелограмма.

Пример 2. Одна пара сторон равна и параллельна

Второй стандартный признак: достаточно одной пары противоположных сторон, если она одновременно равна и параллельна.

Задача. В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\). Докажите, что \(ABCD\) — параллелограмм.

Решение.

Проведём диагональ \(AC\). Так как \(AB\parallel CD\), то \(\angle BAC=\angle ACD\). Также \(AC\) — общая сторона и \(AB=CD\). Треугольники \(BAC\) и \(DCA\) равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(\angle BCA=\angle CAD\), откуда \(BC\parallel AD\). Итак, обе пары противоположных сторон параллельны, значит \(ABCD\) — параллелограмм.

Пример 3. Когда параллелограмм становится прямоугольником

Равные диагонали в параллелограмме дают прямой угол.

Задача. В параллелограмме \(ABCD\) диагонали равны: \(AC=BD\). Докажите, что \(ABCD\) — прямоугольник.

Решение.

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(DCB\). В параллелограмме \(AB=CD\), сторона \(BC\) общая, а по условию \(AC=BD\). Значит треугольники равны по трём сторонам, поэтому \(\angle ABC=\angle DCB\). Но углы \(ABC\) и \(DCB\) являются внутренними односторонними при параллельных прямых \(AB\parallel CD\), значит их сумма равна \(180^\circ\). Равные углы с суммой \(180^\circ\) равны \(90^\circ\). Следовательно, параллелограмм — прямоугольник.

Пример 4. Когда параллелограмм становится ромбом

Перпендикулярные диагонали в параллелограмме заставляют соседние стороны стать равными.

Задача. В параллелограмме \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны. Докажите, что \(ABCD\) — ромб.

Решение.

Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\). В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому \(BO=OD\). Треугольники \(AOB\) и \(AOD\) прямоугольные, имеют общий катет \(AO\) и равные катеты \(BO\) и \(OD\). Значит они равны, откуда \(AB=AD\). В параллелограмме равенство соседних сторон означает, что все стороны равны. Следовательно, \(ABCD\) — ромб.

Пример 5. Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции удобно доказывается через две средние линии треугольников.

Задача. В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\). Точки \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\). Докажите, что \(MN\parallel AD\parallel BC\), и найдите \(MN\), если \(AD=16\), \(BC=10\).

Решение.

Пусть \(P\) — середина диагонали \(AC\). В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MP\) — средняя линия, поэтому \(MP\parallel BC\) и \(MP=\frac{1}{2}BC\). В треугольнике \(ACD\) отрезок \(PN\) — средняя линия, поэтому \(PN\parallel AD\) и \(PN=\frac{1}{2}AD\). Так как \(AD\parallel BC\), точки \(M,P,N\) лежат на одной прямой. Тогда \(MN=MP+PN=\frac{BC+AD}{2}=13\).

Пример 6. Первый признак циклического четырёхугольника

Циклический четырёхугольник удобно распознавать по сумме противоположных углов.

Задача. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(\angle ABC+\angle ADC=180^\circ\). Докажите, что точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.

Решение.

Через точки \(A,B,C\) проведём окружность. Для любой точки \(D\) на нужной дуге этой окружности угол \(\angle ADC\) дополняет угол \(\angle ABC\) до \(180^\circ\). По условию именно это и происходит, значит точка \(D\) лежит на той же окружности. Следовательно, \(A,B,C,D\) — циклический четырёхугольник.

Комментарий. Это предварительный круговой критерий; в следующем модуле он станет основным инструментом.

Пример 7. Диагонали трапеции и отношение оснований

В трапеции пересечение диагоналей делит их в отношении оснований.

Задача. В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), \(AD=18\), \(BC=12\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Найдите \(AO:OC\) и \(DO:OB\).

Решение.

Треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны: углы при \(O\) вертикальные, а остальные соответствующие углы равны из-за \(AD\parallel BC\). Поэтому \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}\). Значит \(AO:OC=DO:OB=3:2\).

Пример 8. Параллелограмм из середин сторон

Классический олимпиадный приём: середины сторон любого четырёхугольника дают параллелограмм.

Задача. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно. Докажите, что \(MNPQ\) — параллелограмм. Если \(AC=BD\), докажите, что \(MNPQ\) — ромб.

Решение.

В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) — средняя линия, поэтому \(MN\parallel AC\) и \(MN=\frac{1}{2}AC\). В треугольнике \(CDA\) отрезок \(PQ\) — средняя линия, поэтому \(PQ\parallel AC\) и \(PQ=\frac{1}{2}AC\). Значит \(MN\parallel PQ\) и \(MN=PQ\), следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм. Аналогично \(NP=\frac{1}{2}BD\). Если \(AC=BD\), то соседние стороны \(MN\) и \(NP\) равны, поэтому параллелограмм \(MNPQ\) является ромбом.

Глава

Окружности I: базовая геометрия окружности

Главный модуль первого уровня об окружности: центральные и вписанные углы, равные хорды, касательные, угол между касательной и хордой, а также системная работа с циклическими четырёхугольниками.

Ключевая идея

Окружность превращает равенство дуг и хорд в равенство углов. Самый важный шаблон модуля: если точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности, то углы \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\), опирающиеся на одну и ту же хорду \(AC\), равны или дополняют друг друга до \(180^\circ\) в зависимости от положения точек.

В задачах первого уровня окружность чаще всего нужна для angle chasing: найти или доказать равенство углов, доказать, что четыре точки лежат на одной окружности, или использовать касательную.

Основные факты

Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу: если \(O\) — центр окружности, то \(\angle AOB=2\angle ACB\), когда оба угла опираются на дугу \(AB\).

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду или дугу, равны. Если \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности, то часто можно записать \(\angle ABC=\angle ADC\), потому что оба угла смотрят на хорду \(AC\).

Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Равные хорды стягивают равные дуги и дают равные вписанные углы. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Угол между касательной в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен вписанному углу, который опирается на хорду \(AB\) с другой стороны окружности.

Четырёхугольник циклический тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\), или когда две точки видят один и тот же отрезок под равными углами.

Когда применять метод

Ищите окружность, если в задаче есть равные углы, прямые углы, касательная, хорды, центр окружности, диаметр или фраза “докажите, что точки лежат на одной окружности”.

Если нужно доказать равенство углов, проверьте, не опираются ли они на один и тот же отрезок. Если нужно доказать цикличность, ищите либо сумму противоположных углов \(180^\circ\), либо две равные угловые видимости одного отрезка.

Как распознать метод

Сигналы окружности: углы вида \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\); две высоты, дающие прямые углы; касательная и хорда; равные хорды; центр окружности и радиусы.

Частый ход: сначала доказать, что четыре точки лежат на одной окружности, а затем заменить один угол равным углом, который легче связан с остальной фигурой.

Типичные ошибки

Нельзя применять равенство вписанных углов, если точки ещё не доказано лежат на одной окружности. Нельзя путать центральный угол с вписанным: центральный в два раза больше, а не равен.

В теореме о касательной и хорде важно брать угол между касательной и именно этой хордой. В задачах с циклическим четырёхугольником следите за тем, какие углы противоположные, а какие опираются на одну хорду.

Мини-чеклист

1. Какие точки уже лежат на одной окружности? 2. На какую хорду опирается угол? 3. Есть ли диаметр или прямой угол? 4. Есть ли касательная и радиус к точке касания? 5. Можно ли доказать цикличность через сумму \(180^\circ\)? 6. Можно ли заменить угол равным углом на той же хорде?

Пример 1. Центральный и вписанный угол

Базовая техника: вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Задача. На окружности с центром \(O\) лежат точки \(A,B,C\). Известно, что \(\angle AOB=124^\circ\). Найдите \(\angle ACB\), если точки \(O\) и \(C\) лежат по разные стороны от хорды \(AB\).

Решение.

Угол \(\angle AOB\) — центральный, а \(\angle ACB\) — вписанный, и оба опираются на дугу \(AB\). Поэтому \(\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=62^\circ\).

Пример 2. Углы на одной хорде

Главный шаблон модуля: углы, смотрящие на одну хорду, равны.

Задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности. Докажите, что \(\angle ABC=\angle ADC\), если точки \(B\) и \(D\) лежат по одну сторону от хорды \(AC\).

Решение.

Оба угла \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\) являются вписанными и опираются на одну и ту же хорду \(AC\). При указанном расположении они смотрят на одну дугу \(AC\). Следовательно, \(\angle ABC=\angle ADC\).

Пример 3. Диаметр даёт прямой угол

Если угол опирается на диаметр, то он прямой.

Задача. \(AB\) — диаметр окружности, точка \(C\) лежит на окружности. Докажите, что \(\angle ACB=90^\circ\).

Решение.

Центральный угол, опирающийся на диаметр \(AB\), равен \(180^\circ\). Вписанный угол \(\angle ACB\), опирающийся на ту же дугу, в два раза меньше. Значит \(\angle ACB=90^\circ\).

Пример 4. Равные хорды

Равные хорды дают равные дуги, а значит и равные вписанные углы.

Задача. На окружности точки \(A,B,C,D\) расположены так, что \(AB=CD\). Докажите, что \(\angle ADB=\angle CAD\).

Решение.

Равные хорды \(AB\) и \(CD\) стягивают равные дуги. Угол \(\angle ADB\) опирается на хорду \(AB\), а угол \(\angle CAD\) опирается на хорду \(CD\). Так как соответствующие дуги равны, равны и эти вписанные углы.

Пример 5. Касательная и радиус

Радиус к точке касания всегда перпендикулярен касательной.

Задача. Прямая \(t\) касается окружности с центром \(O\) в точке \(A\). Докажите, что \(OA\perp t\).

Решение.

Если бы из центра \(O\) к прямой \(t\) можно было опустить более короткий перпендикуляр в другую точку, то эта точка была бы внутри окружности, а прямая пересекала бы окружность в двух точках. Но \(t\) касается окружности только в \(A\). Поэтому кратчайшее расстояние от \(O\) до \(t\) достигается в точке \(A\), и \(OA\perp t\).

Пример 6. Угол между касательной и хордой

Касательная позволяет заменить внешний угол внутренним вписанным углом.

Задача. К окружности, описанной около треугольника \(ABC\), проведена касательная в точке \(A\). Угол между касательной и хордой \(AB\) равен \(48^\circ\). Найдите \(\angle ACB\).

Решение.

По теореме о касательной и хорде угол между касательной в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен вписанному углу, опирающемуся на хорду \(AB\). Такой угол — \(\angle ACB\). Поэтому \(\angle ACB=48^\circ\).

Пример 7. Доказательство цикличности

Четыре точки часто оказываются на одной окружности из-за двух прямых углов.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точки \(D\) и \(E\) — основания высот из \(B\) и \(C\) соответственно. Докажите, что точки \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.

Решение.

Так как \(BD\perp AC\), а \(D\) лежит на \(AC\), получаем \(\angle BDC=90^\circ\). Так как \(CE\perp AB\), а \(E\) лежит на \(AB\), получаем \(\angle BEC=90^\circ\). Значит точки \(D\) и \(E\) видят отрезок \(BC\) под прямым углом, поэтому лежат на окружности с диаметром \(BC\). Следовательно, \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.

Пример 8. Циклический четырёхугольник и сумма углов

В циклическом четырёхугольнике противоположные углы дополняют друг друга до \(180^\circ\).

Задача. В циклическом четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(\angle A=73^\circ\). Найдите \(\angle C\).

Решение.

У противоположных углов циклического четырёхугольника сумма равна \(180^\circ\). Поэтому \(\angle C=180^\circ-73^\circ=107^\circ\).

Пример 9. Касательные из одной точки

Перпендикулярность радиуса касательной помогает получить равные прямоугольные треугольники.

Задача. Из точки \(T\) к окружности с центром \(O\) проведены касательные \(TA\) и \(TB\). Докажите, что \(TA=TB\).

Решение.

Радиусы \(OA\) и \(OB\) перпендикулярны касательным \(TA\) и \(TB\). Треугольники \(OTA\) и \(OTB\) прямоугольные, имеют общую гипотенузу \(OT\) и равные катеты \(OA=OB\). Значит треугольники равны, откуда \(TA=TB\).

Пример 10. Смешанная окружность и касательная

Олимпиадная подготовка: касательная часто даёт угол, который затем используется в циклическом четырёхугольнике.

Задача. В треугольнике \(ABC\) касательная к его описанной окружности в точке \(A\) параллельна \(BC\). Докажите, что \(AB=AC\).

Решение.

Угол между касательной в точке \(A\) и хордой \(AB\) равен \(\angle ACB\). Но касательная параллельна \(BC\), значит этот же угол равен \(\angle ABC\). Поэтому \(\angle ABC=\angle ACB\), и треугольник \(ABC\) равнобедренный: \(AB=AC\).

Глава

Площади I

Модуль вводит площадь треугольника как олимпиадный инструмент: равные основания и высоты, отношения площадей, медианы, деление треугольника и area chasing.

Ключевая идея

Площадь часто заменяет длинные рассуждения об углах и подобии. Если два треугольника имеют общую высоту, их площади относятся как основания. Если имеют общее основание, их площади относятся как высоты.

В олимпиадных задачах площадь удобно использовать как “вес”: разбить фигуру на части, сравнить части и сложить или вычесть равные площади.

Основные факты

Площадь треугольника равна \(S=\frac{1}{2}ah\), где \(a\) — выбранное основание, а \(h\) — высота к нему.

Если два треугольника имеют равные основания и равные высоты, то их площади равны. Если высоты равны, то площади относятся как основания. Если основания равны, то площади относятся как высоты.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, потому что основания на одной стороне равны, а высота к этой стороне общая.

Если точка \(D\) лежит на стороне \(BC\) треугольника \(ABC\), то \(S_{ABD}:S_{ACD}=BD:DC\). Это один из главных шаблонов модуля.

В параллелограмме диагональ делит площадь пополам. В трапеции диагонали и средние линии часто удобно изучать через площади треугольников с основаниями на параллельных прямых.

Когда применять метод

Пробуйте площади, если в задаче есть середины сторон, медианы, точки на одной стороне, параллельные прямые, отношения отрезков или требуется доказать равенство отрезков без явного подобия.

Площади особенно полезны, когда несколько треугольников имеют одну и ту же высоту, когда вершины лежат на прямой, параллельной основанию, или когда фигура разбита пересекающимися отрезками.

Как распознать метод

Ищите общее основание или общую высоту. Если две вершины лежат на прямой, параллельной основанию, высоты к этому основанию равны. Если основание разделено в отношении \(m:n\), то и площади треугольников с общей вершиной относятся как \(m:n\).

Для area chasing удобно обозначить несколько маленьких площадей буквами и записать равенства, которые дают медианы, параллельные прямые или общие высоты.

Типичные ошибки

Нельзя сравнивать площади только по рисунку. Нужно явно указать, что основания равны, высоты равны, или высоты относятся известным образом.

Не путайте отношение площадей с отношением сторон в подобных треугольниках: если используется подобие, площади относятся как квадрат коэффициента подобия. Если используется общая высота, площади относятся как основания.

В area chasing важно складывать и вычитать площади одних и тех же фигур. Нельзя вычитать равенства, если неясно, какие области входят в каждую площадь.

Мини-чеклист

1. Какое основание выбрать? 2. Есть ли общая высота? 3. Есть ли равные основания или середины? 4. Можно ли заменить отношение площадей отношением отрезков? 5. Какие маленькие области удобно обозначить? 6. Нужно ли сложить или вычесть равные площади?

Пример 1. Площадь треугольника

Базовая техника: выбрать основание и высоту к нему.

Задача. В треугольнике основание равно \(13\), высота к нему равна \(8\). Найдите площадь.

Решение.

По формуле площади треугольника \(S=\frac{1}{2}ah\). Поэтому \(S=\frac{1}{2}\cdot13\cdot8=52\).

Пример 2. Одна высота — разные основания

Если вершина общая, а основания лежат на одной прямой, высота одна и та же.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на стороне \(BC\), причём \(BD:DC=2:5\). Найдите \(S_{ABD}:S_{ACD}\).

Решение.

Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общую высоту из точки \(A\) к прямой \(BC\). Поэтому их площади относятся как основания: \(S_{ABD}:S_{ACD}=BD:DC=2:5\).

Пример 3. Медиана делит площадь пополам

Медиана — один из самых частых источников равных площадей.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\). Докажите, что \(S_{ABM}=S_{ACM}\).

Решение.

У треугольников \(ABM\) и \(ACM\) основания \(BM\) и \(CM\) равны, а высота из точки \(A\) к прямой \(BC\) общая. Значит площади равны.

Пример 4. Равные высоты между параллельными прямыми

Параллельные прямые часто дают равные высоты.

Задача. Точки \(A\) и \(B\) лежат на одной прямой, а точки \(C\) и \(D\) лежат на прямой, параллельной \(AB\). Докажите, что \(S_{ABC}=S_{ABD}\).

Решение.

Треугольники \(ABC\) и \(ABD\) имеют общее основание \(AB\). Высоты из точек \(C\) и \(D\) к прямой \(AB\) равны, потому что \(C\) и \(D\) лежат на прямой, параллельной \(AB\). Следовательно, площади равны.

Пример 5. Точка на медиане

Любая точка медианы видит две половины основания с равными площадями.

Задача. В треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) проведена к стороне \(BC\). Точка \(P\) лежит на \(AM\). Докажите, что \(S_{PAB}=S_{PAC}\).

Решение.

Так как \(P\) лежит на медиане \(AM\), прямая \(AP\) проходит через середину \(M\) стороны \(BC\). Треугольники \(PAB\) и \(PAC\) имеют общее основание \(AP\). Точки \(B\) и \(C\) равноудалены от прямой \(AP\), потому что \(M\) — середина \(BC\). Значит площади равны.

Пример 6. Диагональ параллелограмма

Параллелограмм удобно разрезать диагональю на два равных по площади треугольника.

Задача. Докажите, что диагональ \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) делит его площадь пополам.

Решение.

Треугольники \(ABC\) и \(ACD\) имеют общее основание \(AC\). Так как \(AB\parallel CD\), высоты из точек \(B\) и \(D\) к прямой \(AC\) равны. Поэтому \(S_{ABC}=S_{ACD}\), и диагональ делит площадь параллелограмма пополам.

Пример 7. Деление площади внутри треугольника

Если точка движется по отрезку к основанию, её высота к основанию меняется линейно.

Задача. В треугольнике \(ABC\) площадь равна \(90\). Точка \(D\) лежит на \(BC\), а точка \(E\) лежит на \(AD\), причём \(AE:ED=1:2\). Найдите \(S_{BCE}\).

Решение.

Треугольники \(BCE\) и \(BCA\) имеют общее основание \(BC\). Высота точки \(E\) к \(BC\) равна \(\frac{2}{3}\) высоты точки \(A\), потому что \(AE:ED=1:2\). Поэтому \(S_{BCE}=\frac{2}{3}S_{ABC}=60\).

Пример 8. Шесть равных площадей

Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих маленьких треугольников.

Задача. В треугольнике \(ABC\) медианы пересекаются в точке \(G\). Докажите, что шесть маленьких треугольников около точки \(G\) имеют равные площади.

Решение.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\). Рассмотрим две маленькие области по разные стороны одной медианы: они имеют равные основания на стороне треугольника и общую высоту из \(G\). Так получаем пары равных площадей. Кроме того, каждая медиана делит весь треугольник пополам. Сравнивая половины, получаем, что все шесть малых площадей равны.

Пример 9. Площади в трапеции

В трапеции полезно сравнивать треугольники с основаниями на параллельных прямых.

Задача. В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), диагонали пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(S_{AOB}=S_{COD}\).

Решение.

Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общее основание \(AD\), а высоты из точек \(B\) и \(C\) к \(AD\) равны, потому что \(BC\parallel AD\). Поэтому \(S_{ABD}=S_{ACD}\). Вычитая общую площадь \(S_{AOD}\), получаем \(S_{AOB}=S_{COD}\).

Пример 10. Area chasing через точку внутри

Если три малые площади равны, точка оказывается на медианах.

Задача. Точка \(P\) лежит внутри треугольника \(ABC\), причём \(S_{PAB}=S_{PAC}=S_{PBC}\). Докажите, что \(P\) — точка пересечения медиан.

Решение.

Из равенства \(S_{PAB}=S_{PAC}\) следует, что точки \(B\) и \(C\) имеют равные расстояния до прямой \(AP\). Значит прямая \(AP\) проходит через середину \(BC\), то есть является медианой. Аналогично из равенства \(S_{PAB}=S_{PBC}\) получаем, что \(BP\) — медиана. Пересечение двух медиан — центр тяжести треугольника, значит \(P\) — точка пересечения медиан.

Глава

Базовые построения и вспомогательные линии

Практический toolbox-модуль о том, как добавлять точки, продлевать стороны, проводить параллельные прямые и окружности, чтобы находить скрытые равные треугольники, параллелограммы, подобие и циклические четырёхугольники.

Ключевая идея

Вспомогательное построение не должно быть украшением рисунка. Оно должно создать знакомую ситуацию: равные треугольники, параллельные прямые, середину, параллелограмм, подобие или окружность.

Этот модуль работает как toolbox: ученик учится выбирать ход, а не запоминать одну теорему. После каждого построения нужно сразу спросить: какие новые равные углы, равные отрезки или равные треугольники появились?

Основные факты

Продление стороны полезно, когда нужно использовать внешний угол, построить равный отрезок или создать треугольник, равный уже имеющемуся.

Параллельная прямая полезна, когда нужны равные углы, средняя линия, подобные треугольники или параллелограмм. Если через середину стороны провести параллель к другой стороне треугольника, часто появляется новая середина.

Окружность полезна, когда есть прямой угол, равные углы или нужно доказать, что четыре точки лежат на одной окружности. Частая конструкция: окружность с диаметром данного отрезка.

Отражение точки относительно середины или продление медианы на равный отрезок часто создаёт параллелограмм и скрытые равные треугольники.

Когда применять метод

Добавляйте точку, если в задаче не хватает второй стороны равного треугольника, не видно параллелограмма или нужно “перенести” отрезок в другое место.

Проводите параллельную прямую, если на рисунке есть середина, отношение на стороне, трапеция или требуется подобие. Стройте окружность, если есть два прямых угла, равные углы на один отрезок или касательная.

Как распознать метод

Середина часто просит продлить отрезок на такую же длину. Отношение на стороне часто просит провести параллель. Два прямых угла часто просят окружность с диаметром. Равные отрезки часто просят окружность или равнобедренный треугольник.

Если после построения вы не можете назвать новый факт, построение, скорее всего, выбрано случайно.

Типичные ошибки

Нельзя проводить много линий без цели. Нельзя использовать свойство построенной фигуры, пока она не доказана: например, нельзя назвать четырёхугольник параллелограммом только потому, что он похож на него.

При продлении стороны важно указать порядок точек. При построении окружности важно сказать, почему нужные точки на ней лежат. При построении параллельной прямой важно записать равные углы, которые она создаёт.

Мини-чеклист

1. Какой объект я хочу получить: равный треугольник, параллелограмм, подобие или окружность? 2. Где есть середина? 3. Можно ли продлить отрезок на равную длину? 4. Какая параллель даст нужные углы? 5. Есть ли диаметр или два прямых угла? 6. Что именно стало верным после построения?

Пример 1. Продлить медиану

Приём: середина часто просит продлить отрезок на такую же длину.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\). Продлим \(AM\) за точку \(M\) до точки \(D\) так, что \(MD=AM\). Докажите, что \(AB\parallel CD\) и \(AC\parallel BD\).

Решение.

Точка \(M\) — середина и \(BC\), и \(AD\). Значит диагонали четырёхугольника \(ABDC\) делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(ABDC\) — параллелограмм. Отсюда \(AB\parallel CD\) и \(AC\parallel BD\).

Пример 2. Провести параллель через середину

Приём: параллельная прямая превращает середину одной стороны в середину другой.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) — середина \(AB\). Через \(D\) проведена прямая, параллельная \(BC\), она пересекает \(AC\) в точке \(E\). Докажите, что \(E\) — середина \(AC\).

Решение.

Так как \(DE\parallel BC\), треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны. Из \(AD=DB\) получаем \(AD:AB=1:2\). Поэтому \(AE:AC=1:2\), значит \(AE=EC\). Точка \(E\) — середина \(AC\).

Пример 3. Достроить параллелограмм

Приём: если не хватает равных сторон, удобно достроить параллелограмм.

Задача. Через точки \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) проведены прямые, параллельные \(AC\) и \(AB\) соответственно; они пересекаются в точке \(D\). Докажите, что \(AB=CD\) и \(AC=BD\).

Решение.

По построению \(BD\parallel AC\) и \(CD\parallel AB\). Значит \(ABDC\) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(AB=CD\) и \(AC=BD\).

Пример 4. Окружность с диаметром

Приём: два прямых угла часто означают окружность с диаметром.

Задача. В четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(\angle ACB=90^\circ\) и \(\angle ADB=90^\circ\). Докажите, что точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.

Решение.

Построим окружность с диаметром \(AB\). Любая точка, из которой отрезок \(AB\) виден под прямым углом, лежит на этой окружности. Поэтому точки \(C\) и \(D\) лежат на окружности с диаметром \(AB\), а значит \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.

Пример 5. Построить равный отрезок

Приём: равный отрезок создаёт равнобедренный треугольник.

Задача. В треугольнике \(ABC\) продолжим луч \(BA\) за точку \(B\) до точки \(D\) так, что \(BD=BC\). Если \(\angle ABC=44^\circ\), найдите \(\angle BCD\).

Решение.

Так как \(D\) лежит на луче \(BA\), угол \(\angle DBC\) равен \(\angle ABC=44^\circ\). В треугольнике \(BCD\) стороны \(BD\) и \(BC\) равны, значит углы при основании равны. Поэтому \(\angle BCD=\frac{180^\circ-44^\circ}{2}=68^\circ\).

Пример 6. Отражение относительно середины

Приём: отражение точки относительно середины часто даёт параллелограмм.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\). Точка \(D\) симметрична точке \(A\) относительно \(M\). Докажите, что \(ABDC\) — параллелограмм.

Решение.

Из симметрии получаем \(AM=MD\), а по условию \(BM=MC\). Значит диагонали \(AD\) и \(BC\) четырёхугольника \(ABDC\) делятся точкой \(M\) пополам. Следовательно, \(ABDC\) — параллелограмм.

Пример 7. Окружность через три точки

Приём: если две точки видят один отрезок под равными углами, появляется окружность.

Задача. Точки \(C\) и \(D\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\), причём \(\angle ACB=\angle ADB\). Докажите, что точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.

Решение.

Построим окружность через \(A,B,C\). Все точки, из которых отрезок \(AB\) виден под углом \(\angle ACB\) с той же стороны от \(AB\), лежат на одной дуге этой окружности. Так как \(\angle ADB=\angle ACB\), точка \(D\) лежит на той же окружности.

Пример 8. Диагональ как вспомогательная линия

Приём: в четырёхугольнике почти всегда стоит попробовать диагональ.

Задача. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\). Докажите, что \(MNPQ\) — параллелограмм.

Решение.

Проведём диагональ \(AC\). В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) — средняя линия, поэтому \(MN\parallel AC\). В треугольнике \(CDA\) отрезок \(PQ\) — средняя линия, поэтому \(PQ\parallel AC\). Значит \(MN\parallel PQ\). Аналогично, проведя диагональ \(BD\), получаем \(NP\parallel MQ\). Следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм.

Глава

Смешанные задачи I

Итоговый смешанный модуль первой части: ученик заранее не знает метод и должен выбирать между углами, равенством треугольников, подобием, окружностями, площадями и вспомогательными построениями.

Ключевая идея

В смешанной задаче метод не написан в условии. Нужно сначала прочитать конфигурацию: где есть параллельные прямые, равные отрезки, середины, прямые углы, окружности, отношения и площади.

Хорошая олимпиадная привычка — не начинать с вычислений. Сначала найдите структуру: угол на хорде, скрытый равный треугольник, маленький треугольник внутри большого, медиану, общую высоту или полезное вспомогательное построение.

Основные факты

Angle chasing работает, когда есть параллельные прямые, внешний угол, сумма углов треугольника или циклический четырёхугольник.

Равенство треугольников ищут по SSS, SAS, ASA, особенно после продления стороны, отражения точки или достроения параллелограмма.

Подобие появляется из параллельных прямых, общих углов, высот в прямоугольном треугольнике и пропорций. Площади полезны при общих высотах, медианах, точках на одной стороне и разбиении фигуры на части.

Окружности помогают заменить углы: если точки лежат на одной окружности, углы, опирающиеся на одну хорду, равны; если два угла прямые, часто есть окружность с диаметром.

Когда применять метод

Если нужно найти угол, сначала ищите параллельные прямые и окружность. Если нужно доказать равенство отрезков, ищите равные треугольники, равные хорды или параллелограмм. Если нужно найти отношение, ищите подобие или площади.

Если рисунок не даёт нужной пары треугольников, попробуйте провести диагональ, продлить медиану, построить параллельную прямую или окружность с диаметром.

Как распознать метод

Середина намекает на медиану, среднюю линию, площади или продление на равный отрезок. Параллельность намекает на углы и подобие. Прямые углы намекают на окружность с диаметром. Отношение на стороне намекает на подобие или площади.

Если в задаче есть четырёхугольник, попробуйте диагональ или окружность. Если есть точка пересечения диагоналей, попробуйте отношения и площади.

Типичные ошибки

Не выбирайте метод только по последнему изученному модулю. В смешанном блоке задача специально может выглядеть как углы, но решаться площадями, или выглядеть как площади, но решаться подобием.

Не используйте свойство фигуры до доказательства: цикличность, параллелограмм, равнобедренность и подобие должны быть обоснованы. Не перегружайте рисунок линиями: каждое построение должно создавать конкретный новый факт.

Мини-чеклист

1. Что требуется: угол, отрезок, отношение, площадь или доказательство? 2. Есть ли параллельные прямые? 3. Есть ли середины или медианы? 4. Есть ли окружность или два прямых угла? 5. Можно ли сравнить треугольники? 6. Не проще ли решить через площади? 7. Какое одно вспомогательное построение создаёт знакомую ситуацию?

Пример 1. Сначала распознать углы

Пример показывает, что параллельная прямая часто превращает задачу в angle chasing.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на \(AC\), а \(DE\parallel BC\), где \(E\) лежит на \(AB\). Если \(\angle A=48^\circ\), \(\angle B=67^\circ\), найдите \(\angle ADE\).

Решение.

Так как \(DE\parallel BC\), угол \(\angle ADE\) равен углу \(\angle ACB\). В треугольнике \(ABC\) имеем \(\angle C=180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ\). Следовательно, \(\angle ADE=65^\circ\).

Пример 2. Середина просит продление

Если есть середина и не хватает равных треугольников, помогает продление на равный отрезок.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина \(BC\). Продлим \(AM\) за \(M\) до \(D\) так, что \(MD=AM\). Докажите, что \(AB\parallel CD\).

Решение.

Имеем \(AM=MD\), \(BM=MC\), а \(\angle AMB=\angle DMC\) как вертикальные. Поэтому \(\triangle ABM\cong\triangle DCM\). Значит \(\angle ABM=\angle DCM\), откуда \(AB\parallel CD\).

Пример 3. Отношение через подобие

Если внутри треугольника проведена параллель, почти всегда стоит проверить подобие.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точки \(D\) и \(E\) лежат на \(AB\) и \(AC\), причём \(DE\parallel BC\). Если \(AD:DB=3:2\) и \(BC=20\), найдите \(DE\).

Решение.

Из \(DE\parallel BC\) следует \(\triangle ADE\sim\triangle ABC\). Имеем \(AD:AB=3:5\), значит \(DE:BC=3:5\). Поэтому \(DE=12\).

Пример 4. Окружность заменяет угол

Если четыре точки цикличны, один угол можно заменить другим.

Задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности, \(B\) и \(D\) по одну сторону от хорды \(AC\). Если \(\angle ABC=42^\circ\), найдите \(\angle ADC\).

Решение.

Углы \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\) опираются на одну хорду \(AC\). При данном расположении они равны. Поэтому \(\angle ADC=42^\circ\).

Пример 5. Площади вместо углов

Иногда отношение отрезков проще получить через площади.

Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) лежит на \(BC\). Известно, что \(S_{ABD}=18\), \(S_{ACD}=30\). Найдите \(BD:DC\).

Решение.

Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общую высоту из \(A\) к \(BC\). Поэтому \(BD:DC=S_{ABD}:S_{ACD}=18:30=3:5\).

Пример 6. Диагональ четырёхугольника

В четырёхугольнике диагональ часто создаёт средние линии или равные треугольники.

Задача. В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M,N,P,Q\) — середины сторон. Докажите, что \(MNPQ\) — параллелограмм.

Решение.

Проведём диагональ \(AC\). Тогда \(MN\parallel AC\) и \(PQ\parallel AC\), потому что это средние линии в треугольниках \(ABC\) и \(CDA\). Значит \(MN\parallel PQ\). Аналогично через диагональ \(BD\) получаем \(NP\parallel MQ\). Следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм.

Пример 7. Два прямых угла дают окружность

Если две точки видят один отрезок под прямым углом, появляется окружность с диаметром.

Задача. В треугольнике \(ABC\) высоты из \(B\) и \(C\) имеют основания \(D\) и \(E\). Докажите, что \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.

Решение.

Имеем \(\angle BDC=90^\circ\) и \(\angle BEC=90^\circ\). Поэтому точки \(D\) и \(E\) лежат на окружности с диаметром \(BC\). Значит \(B,C,D,E\) цикличны.

Пример 8. Смешанный ход в трапеции

Здесь нужны и подобие, и понимание диагоналей трапеции.

Задача. В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), \(AD=18\), \(BC=12\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Найдите \(AO:OC\).

Решение.

Треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны: углы при \(O\) вертикальные, а остальные соответствующие углы равны из-за \(AD\parallel BC\). Поэтому \(AO:OC=AD:BC=18:12=3:2\).

Пример 9. Касательная как источник равных углов

Касательная может неожиданно привести к равнобедренному треугольнику.

Задача. В треугольнике \(ABC\) касательная к описанной окружности в \(A\) параллельна \(BC\). Докажите, что \(AB=AC\).

Решение.

Угол между касательной и \(AB\) равен \(\angle ACB\). Так как касательная параллельна \(BC\), этот же угол равен \(\angle ABC\). Значит \(\angle ABC=\angle ACB\), поэтому \(AB=AC\).

Пример 10. Площади определяют медианы

Иногда равенство площадей показывает, где проходит медиана.

Задача. Точка \(P\) лежит внутри треугольника \(ABC\), и \(S_{PAB}=S_{PAC}=S_{PBC}\). Докажите, что \(P\) — точка пересечения медиан.

Решение.

Из \(S_{PAB}=S_{PAC}\) следует, что \(AP\) проходит через середину \(BC\). Из \(S_{PAB}=S_{PBC}\) следует, что \(BP\) проходит через середину \(AC\). Значит \(P\) — пересечение двух медиан, то есть точка пересечения медиан треугольника.