Теория курса
Алгебра. Книга 2
Book 2. Olympiad Inequalities
- 1. Основные принципы неравенств
- 2. AM-GM
- 3. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца
- 4. Перестановочное неравенство и неравенство Чебышева
- 5. Введение в неравенство Йенсена
- 6. UVW-метод и симметрические неравенства
- 7. Однородные неравенства
- 8. Методы подстановки
- 9. Неравенства с ограничениями
- 10. Сложные задачи на неравенства
- 11. Смешанные наборы неравенств
- 12. Тренировочные олимпиады: неравенства
Глава
Основные принципы неравенств
Ключевая идея
Базовый принцип неравенств в олимпиадной алгебре: прежде чем оценивать выражение, нужно понять, где может быть равенство и какая величина является «правильной» для сравнения. Часто решение строится не на сильной теореме, а на точном выборе квадрата, порядка или экстремального элемента.
Основные факты
Мы будем использовать \(t^2\ge0\), \((x-y)^2\ge0\), упорядочивание чисел, минимальную сумму различных натуральных чисел, проверку знаков перед умножением неравенств и анализ случая равенства. Важно помнить: неравенство можно умножать на выражение только после контроля его знака.
Когда применять метод
Метод подходит, когда в задаче есть фразы «наибольшее», «наименьшее», «различные положительные», «сумма фиксирована», «докажите невозможность», «найдите максимум» или «равенство возможно только при...». Это сигнал искать границу, инвариант или квадрат.
Как распознать метод
Если выражение симметрично, попробуйте выделить суммы квадратов разностей. Если числа упорядочены, сравните крайние элементы. Если условие действует на любую пару или любое разбиение, ищите глобальную оценку: сумму, произведение, число положительных/отрицательных элементов.
Типичные ошибки
Нельзя перемножать неравенства, не проверив, что обе стороны имеют нужный знак. Нельзя забывать случай равенства. Ещё одна частая ошибка — пытаться оценивать каждое слагаемое отдельно, когда задача требует выбрать экстремальный элемент или рассмотреть весь набор сразу.
Мини-чеклист
1. Где равенство? 2. Какие выражения точно неотрицательны? 3. Можно ли упорядочить объекты? 4. Безопасно ли умножать неравенства? 5. Есть ли экстремальный элемент? 6. Достаточно ли доказана невозможность всех остальных случаев?
Пример 1. Квадрат разности
Что учит пример. Базовая оценка часто прячется в квадрате.
Задача. Докажите, что \(a^2+b^2\ge2ab\).
Перенесём всё в одну сторону: \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge0\). Значит, \(a^2+b^2\ge2ab\). Равенство достигается при \(a=b\).
Пример 2. Случай равенства
Что учит пример. В неравенстве надо видеть не только оценку, но и когда она точна.
Задача. При \(x+y=10\) найдите наименьшее значение \(x^2+y^2\).
\(x^2+y^2=\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{2}=50+\frac{(x-y)^2}{2}\ge50\). Равенство при \(x=y=5\).
Пример 3. Оценка дроби
Что учит пример. Максимум дроби иногда находится без производных.
Задача. Докажите, что при \(x>0\) выполняется \(\frac{x}{x^2+x+1}\le\frac13\).
Так как знаменатель положителен, неравенство равносильно \(3x\le x^2+x+1\), то есть \((x-1)^2\ge0\).
Пример 4. Упорядочивание
Что учит пример. Если есть крайние элементы, используйте их.
Задача. Пусть \(0 Поскольку числа различны и натуральны, \(a_i\ge i\). Поэтому сумма не меньше \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2\).
Пример 5. Осторожное умножение
Что учит пример. Перед умножением неравенств нужно знать знаки.
Задача. Если \(u>v>0\) и \(p>q>0\), докажите \(up+vq>uq+vp\).
Разность равна \(up+vq-uq-vp=(u-v)(p-q)>0\). Знаки множителей проверены, поэтому вывод строгий.
Пример 6. Неравенство как невозможность
Что учит пример. Иногда надо доказать, что равенство не может быть достигнуто одновременно в разных местах.
Задача. Могут ли различные действительные \(x,y,z\) удовлетворять \(\frac1{x^2+x+1}+\frac1{y^2+y+1}+\frac1{z^2+z+1}=4\)?
\(x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\), поэтому каждое слагаемое не превосходит \(\frac43\). Сумма не больше \(4\), а равенство требует \(x=y=z=-\frac12\), что противоречит различности.
Пример 7. Экстремальный элемент
Что учит пример. Наибольший или наименьший элемент часто не может подчиняться тому же правилу, что остальные.
Задача. В круге стоят положительные числа. Может ли наибольшее число равняться модулю разности двух своих соседей?
Нет. Оба соседа положительны и не превосходят наибольшее число \(M\), значит модуль их разности строго меньше \(M\).
Пример 8. Инвариант
Что учит пример. В задачах с операциями полезно считать не точные объекты, а типы объектов.
Задача. У прямоугольника обе стороны больше \(1\). Операция либо заменяет его на прямоугольник с обратными сторонами, либо разрезает одну сторону на два положительных множителя. Почему нельзя получить только прямоугольники, у которых одна сторона больше \(1\), а другая меньше \(1\)?
Назовём прямоугольник однородным, если обе стороны одновременно больше \(1\) или одновременно меньше \(1\). Первый тип операции сохраняет число однородных прямоугольников, а второй при применении к однородному прямоугольнику оставляет хотя бы один однородный. Начинали с одного однородного, значит полностью избавиться от них нельзя.
Глава
AM-GM
Ключевая идея
AM-GM работает не тогда, когда в задаче просто есть положительные числа, а тогда, когда можно выбрать слагаемые с контролируемым произведением. Главная олимпиадная трудность — не применить формулу, а подготовить выражение к ней.
Основные факты
Для \(x_1,\ldots,x_n>0\) верно \(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\). Взвешенная форма: если веса положительны и их сумма равна \(1\), то \(\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n\ge x_1^{\lambda_1}\cdots x_n^{\lambda_n}\). Равенство достигается, когда все выбранные для AM-GM слагаемые равны.
Когда применять метод
Метод полезен при фиксированной сумме, фиксированном произведении, выражениях вида \(x+\frac{k}{x}\), произведениях нескольких положительных величин, а также при необходимости доказать максимум или минимум с equality case.
Как распознать метод
Ищите фразы «положительные числа», «сумма равна», «произведение равно», «найдите наибольшее/наименьшее». Если выражение не подходит сразу, попробуйте домножить, разделить на фиксированную величину, упорядочить переменные или заменить часть условия.
Типичные ошибки
Нельзя применять AM-GM к неположительным величинам. Нельзя забывать, что равенство требует равенства именно тех слагаемых, к которым применён метод. Частая ошибка — получить правильную оценку, но не проверить, достижима ли она при условиях задачи.
Мини-чеклист
1. Все выбранные слагаемые положительны? 2. Их произведение известно или оценивается? 3. Равенство совместимо с условием? 4. Нужна ли взвешенная форма? 5. Не требуется ли сначала нормировка или упорядочивание?
Пример 1. Два слагаемых
Что учит пример. Базовая форма AM-GM.
Задача. При \(x>0\) докажите \(x+\frac{25}{x}\ge10\).
По AM-GM: \(x+\frac{25}{x}\ge2\sqrt{25}=10\). Равенство при \(x=5\).
Пример 2. Фиксированное произведение
Что учит пример. Минимум суммы при известном произведении.
Задача. Если \(abc=8\), докажите \(a+b+c\ge6\).
\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}=2\), значит \(a+b+c\ge6\). Равенство при \(a=b=c=2\).
Пример 3. Фиксированная сумма
Что учит пример. Максимум произведения при известной сумме.
Задача. Если \(a+b+c=9\), докажите \(abc\le27\).
\(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}=3\), поэтому \(abc\le27\). Равенство при \(a=b=c=3\).
Пример 4. Взвешенная идея
Что учит пример. Иногда одну переменную надо взять несколько раз.
Задача. Если \(x^2y=1\), докажите \(2x+y\ge3\).
Применим AM-GM к \(x,x,y\): \(\frac{x+x+y}{3}\ge\sqrt[3]{x^2y}=1\). Следовательно, \(2x+y\ge3\).
Пример 5. Подготовка выражения
Что учит пример. Перед AM-GM можно переписать условие.
Задача. Если \(ab+bc+ca=1\), докажите \(\sqrt{a+\frac1a}\ge\sqrt b+\sqrt c\).
\(a+\frac1a=a+\frac{ab+ac+bc}{a}=a+b+c+\frac{bc}{a}\). По AM-GM: \(a+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{bc}\). Значит, \(a+\frac1a\ge(\sqrt b+\sqrt c)^2\).
Пример 6. Равенство в нескольких местах
Что учит пример. Надо проверять совместимость всех equality cases.
Задача. Если \(a,b,c>0\), \(a+b+c=3\), докажите \((1+a)(1+b)(1+c)\le8\).
Сумма чисел \(1+a,1+b,1+c\) равна \(6\). По AM-GM их произведение не больше \(\left(\frac63\right)^3=8\). Равенство при \(a=b=c=1\).
Пример 7. AM-GM после упорядочивания
Что учит пример. В сложных задачах сначала выбирают порядок переменных.
Задача. Если \(a\ge b\ge c\ge d>0\) и \(a+b+c+d=3\), докажите \(ab(c+d)\le1\).
По AM-GM для \(a,b,c+d\): \(ab(c+d)\le\left(\frac{a+b+c+d}{3}\right)^3=1\).
Пример 8. Произведение дробей
Что учит пример. Сначала докажите произведение, затем примените AM-GM к сумме.
Задача. Докажите при \(x_i>0\): \(\sum_{i=1}^{n}\frac{1+x_i^2}{1+x_ix_{i+1}}\ge n\), где \(x_{n+1}=x_1\).
Для каждого \(i\), \((1+x_i^2)(1+x_{i+1}^2)\ge(1+x_ix_{i+1})^2\). Перемножая, получаем произведение дробей не меньше \(1\). Тогда их сумма не меньше \(n\) по AM-GM.
Глава
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца
Ключевая идея
Неравенство Коши-Буняковского-Шварца позволяет заменить сумму дробей одной глобальной дробью. В олимпиадных задачах главное — правильно выбрать числители и знаменатели, чтобы сумма знаменателей стала простой.
Основные факты
Стандартная форма: \((a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2\). Engel form: при \(q_i>0\), \[\frac{x_1^2}{q_1}+\cdots+\frac{x_n^2}{q_n}\ge\frac{(x_1+\cdots+x_n)^2}{q_1+\cdots+q_n}.\]
Когда применять метод
Метод особенно полезен для сумм вида \(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}+\frac{z^2}{C}\), для дробей с циклическими знаменателями, для оценок обратных величин и для задач, где сумма знаменателей контролируется условием.
Как распознать метод
Если в числителе стоит квадрат или его можно создать, пробуйте Engel form. Если числитель не квадрат, попробуйте переписать \(\frac{a}{b}\) как \(\frac{(\sqrt{a})^2}{b}\) или домножить дробь.
Типичные ошибки
Нельзя забывать положительность знаменателей. Частая ошибка — применять Cauchy к неправильным числителям и получать бесполезную сумму знаменателей. Ещё одна ошибка — потерять условие равенства.
Мини-чеклист
1. Все знаменатели положительны? 2. Какие числители дают нужную сумму? 3. Сумма знаменателей упрощается? 4. Нужна ли предварительная оценка знаменателя? 5. Совместим ли equality case с условием?
Пример 1. Стандартная форма
Задача. Докажите \((a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2\).
Это Cauchy для векторов \((a,b)\) и \((c,d)\). После раскрытия разность равна \((ad-bc)^2\ge0\).
Пример 2. Engel form
Задача. Докажите \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{(x+y)^2}{a+b}\) при \(a,b>0\).
Это Engel form: \(\sum\frac{x_i^2}{q_i}\ge\frac{(\sum x_i)^2}{\sum q_i}\).
Пример 3. Несбитт
Задача. При \(a,b,c>0\) докажите \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32\).
Пишем \(a=\frac{a^2}{a}\): \(\sum\frac{a}{b+c}=\sum\frac{a^2}{a(b+c)}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge\frac32\).
Пример 4. Сумма знаменателей
Задача. Докажите \(\sum\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\).
По Cauchy: \(\sum\frac{x^2}{x+y}\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}\).
Пример 5. Обратные величины
Задача. Если \(a+b+c=1\), докажите \(\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge9\).
По Cauchy: \((1+1+1)^2\le(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\). Так как \(a+b+c=1\), получаем результат.
Пример 6. Создать квадрат
Задача. Докажите \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\ge\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{2(x+y+z)}\).
Запишите числители как \((\sqrt{x})^2\), \((\sqrt{y})^2\), \((\sqrt{z})^2\) и примените Cauchy.
Пример 7. Предварительная оценка
Задача. При \(t,u>0\) оцените \(\frac{t^3}{t^2+u}\) снизу через \(t\) и \(\sqrt{u}\).
\(\frac{t^3}{t^2+u}=t-\frac{tu}{t^2+u}\ge t-\frac{tu}{2t\sqrt{u}}=t-\frac{\sqrt{u}}{2}\).
Пример 8. Смешанный ход
Задача. При \(a+b+c=3\) докажите \(ab+bc+ca\le3\).
\((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\), так как это равносильно \(\frac12((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\ge0\).
Глава
Перестановочное неравенство и неравенство Чебышева
Ключевая идея
Если две последовательности упорядочены одинаково, то их попарное произведение даёт наибольшую сумму. Если они упорядочены противоположно, получается наименьшая сумма. Неравенство Чебышева превращает эту идею в оценку среднего произведения.
Основные факты
Перестановочное неравенство. Если \(a_1\le\cdots\le a_n\) и \(b_1\le\cdots\le b_n\), то для любой перестановки \(\sigma\)
\[\sum_{i=1}^n a_i b_i\ge \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)}\ge \sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i}.\]
Неравенство Чебышева. При одинаковом порядке последовательностей
\[\frac1n\sum_{i=1}^n a_i b_i\ge \left(\frac1n\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\frac1n\sum_{i=1}^n b_i\right).\]
Когда применять метод
Метод полезен, когда в задаче есть упорядочивание, перестановки, максимальная или минимальная сумма произведений, а также суммы степеней вроде \(\sum a_i^{m+1}\), которые можно увидеть как произведения \(a_i^m\cdot a_i\).
Как распознать метод
Ищите две монотонные последовательности: \(a_i\) и \(a_i^2\), \(a_i^2\) и \(a_i^3\), числа и их обратные в противоположном порядке, коэффициенты и переменные с нулевой суммой. Если выражение меняется при перестановке букв, почти всегда стоит проверить rearrangement.
Типичные ошибки
Нельзя применять неравенство без проверки порядка. Обратные величины имеют противоположный порядок. В симметрических задачах разрешено предварительно переименовать переменные, но в циклических выражениях это нужно делать аккуратно: циклическая сумма после переименования остаётся лишь некоторой перестановкой произведений.
Мини-чеклист
1. Какие две последовательности нужно упорядочить? 2. Они идут в одном или противоположном порядке? 3. Требуется максимум, минимум или средняя оценка? 4. Можно ли заменить циклическую сумму произвольной перестановкой? 5. Когда возможно равенство?
Пример 1. Один обмен
Первый шаг метода - понять, почему правильная перестановка выгоднее неправильной.
Задача. Пусть \(a\le b\) и \(x\le y\). Докажите \(ax+by\ge ay+bx\).
Вычтем правую часть из левой:
\[ax+by-ay-bx=(b-a)(y-x)\ge0.\]
Один обмен двух соседних элементов не может увеличить сумму, если порядок уже правильный.
Пример 2. Максимальная перестановка
Любую перестановку можно исправить последовательностью соседних обменов.
Задача. Если \(a\le b\le c\) и \(x\le y\le z\), покажите, что максимум суммы \(ap+bq+cr\), где \(p,q,r\) - перестановка \(x,y,z\), равен \(ax+by+cz\).
Если больший коэффициент умножен на меньшую переменную, а меньший коэффициент - на большую, обмен увеличивает сумму на \((b-a)(y-x)\ge0\). Повторяя обмены, приходим к одинаковому порядку. Значит, максимум равен \(ax+by+cz\).
Пример 3. Неравенство Чебышева
Chebyshev - это средняя форма rearrangement.
Задача. Пусть \(a\le b\le c\) и \(x\le y\le z\). Докажите \[3(ax+by+cz)\ge(a+b+c)(x+y+z).\]
Раскрывая разность, получаем
\[3\sum ax-\sum a\sum x=(b-a)(y-x)+(c-a)(z-x)+(c-b)(z-y)\ge0.\]
Пример 4. Противоположный порядок
С обратными величинами порядок меняется на противоположный.
Задача. Пусть \(0 Последовательность \(a,b,c\) возрастает, а \(\frac1c,\frac1b,\frac1a\) тоже возрастает. По rearrangement максимальная сумма получается при одинаковом порядке: \(\frac{a}{c}+\frac{b}{b}+\frac{c}{a}\).
Пример 5. Суммы степеней
Степени автоматически сохраняют порядок.
Задача. Докажите при \(x,y,z\ge0\): \[3(x^3+y^3+z^3)\ge(x+y+z)(x^2+y^2+z^2).\]
Переупорядочим числа так, чтобы \(x\le y\le z\). Тогда \(x^2\le y^2\le z^2\). По Чебышеву
\[\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge\frac{x+y+z}{3}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{3}.\]
Пример 6. Циклическая сумма
Циклическая сумма часто является просто одной из перестановок.
Задача. Докажите при \(a,b,c>0\): \[a^4+b^4+c^4\ge a^3b+b^3c+c^3a.\]
Упорядочим \(a,b,c\) как \(u_1\le u_2\le u_3\). Тогда \(u_1^3\le u_2^3\le u_3^3\). Максимальная сумма произведений \(u_i^3\cdot u_{\sigma(i)}\) равна \(\sum u_i^4\). Правая часть - одна из таких перестановок, поэтому она не больше левой.
Пример 7. Нулевая сумма
Chebyshev часто превращает условие нулевой суммы в знак скалярного произведения.
Задача. Пусть \(a\le b\le c\), \(x\le y\le z\) и \(x+y+z=0\). Докажите \(ax+by+cz\ge0\), если \(a+b+c\ge0\).
По Чебышеву \(3(ax+by+cz)\ge(a+b+c)(x+y+z)=0\). Значит, \(ax+by+cz\ge0\).
Пример 8. Как не потерять равенство
В задачах на перестановки важно понимать, когда все обмены дают нулевой прирост.
Задача. Для \(a\le b\le c\) и \(x\le y\le z\) найдите, когда \(ax+by+cz=az+by+cx\).
Разность равна \((c-a)(z-x)\). Поэтому равенство возможно тогда и только тогда, когда \(a=c\) или \(x=z\), то есть одна из последовательностей фактически постоянна на крайних местах.
Глава
Введение в неравенство Йенсена
Ключевая идея
Неравенство Йенсена говорит: для выпуклой функции значение в среднем не больше среднего значения функции, а для вогнутой функции знак меняется. В олимпиадных задачах важно не произносить слово “выпуклость”, а выбрать правильную функцию под данное ограничение.
Основные факты
Если \(f\) выпукла, то
\[\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}\ge f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right).\]
Если \(f\) вогнута, то знак меняется. Частые функции: \(x^2\), \(x^4\), \(1/x\), \(e^x\) выпуклы на нужных областях; \(\sqrt{x}\) и \(\ln x\) вогнуты при \(x>0\). Касательная к выпуклой функции лежит ниже графика, а к вогнутой - выше графика.
Когда применять метод
Метод особенно полезен при фиксированной сумме, среднем значении, произведении через логарифм, суммах корней, обратных величинах, а также в задачах, где равенство должно достигаться при \(x_1=\cdots=x_n\).
Как распознать метод
Ищите выражения вида \(\sum f(x_i)\) и условие на \(\sum x_i\). Если нужно оценить произведение, возьмите логарифм. Если стоит \(x^x\), рассмотрите функцию \(x\ln x\). Если задача просит максимум суммы корней или логарифмов, вероятно нужна вогнутость.
Типичные ошибки
Нельзя забывать область определения: для \(\ln x\), \(\sqrt{x}\), \(1/x\) нужны положительность или неотрицательность. Частая ошибка - перепутать направление неравенства для вогнутой функции. Ещё одна ошибка - применять Йенсена там, где нет фиксированного среднего или его нельзя получить.
Мини-чеклист
1. Какая функция \(f\) скрыта в выражении? 2. Она выпуклая или вогнутая на нужной области? 3. Что известно о среднем аргументов? 4. Где должен быть случай равенства? 5. Нужно ли предварительно взять логарифм или провести касательную?
Пример 1. Выпуклость квадрата
Этот пример показывает базовое направление Йенсена для выпуклой функции.
Задача. Докажите \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}\).
Функция \(f(x)=x^2\) выпукла. Поэтому \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\). Умножаем на \(3\).
Пример 2. Вогнутость корня
Для вогнутых функций знак неравенства меняется.
Задача. При \(x,y,z\ge0\), \(x+y+z=12\), докажите \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le6\).
Функция \(\sqrt{x}\) вогнута. Значит, \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}\le\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=\sqrt{4}=2\).
Пример 3. Обратные величины
Выпуклость \(1/x\) даёт классическую оценку снизу.
Задача. Докажите при \(a,b,c>0\): \(\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge\frac{9}{a+b+c}\).
Для \(f(x)=1/x\) имеем выпуклость на \(x>0\). По Йенсену \(\frac13\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge\frac{1}{(a+b+c)/3}\). Отсюда получается требуемое.
Пример 4. Логарифм и произведение
Произведения часто удобнее оценивать после логарифмирования.
Задача. Если \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=3\), докажите \(abc\le1\).
Функция \(\ln x\) вогнута. Поэтому \(\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}\le\ln\frac{a+b+c}{3}=\ln1=0\). Значит, \(\ln(abc)\le0\), то есть \(abc\le1\).
Пример 5. Касательная к квадрату
Касательная часто заменяет функцию линейной оценкой.
Задача. Докажите \(x^2\ge2x-1\) для всех действительных \(x\).
Это касательная к \(x^2\) в точке \(1\). Алгебраически \(x^2-2x+1=(x-1)^2\ge0\).
Пример 6. Касательная к логарифму
Для вогнутой функции касательная лежит выше графика.
Задача. Докажите \(\ln x\le x-1\) при \(x>0\).
Функция \(\ln x\) вогнута, поэтому её график лежит ниже касательной в точке \(1\). Касательная имеет вид \(y=x-1\). Значит, \(\ln x\le x-1\).
Пример 7. Взвешенный Йенсен
Иногда среднее имеет не равные веса.
Задача. Докажите при \(x,y\ge0\): \(2\sqrt{x}+\sqrt{y}\le3\sqrt{\frac{2x+y}{3}}\).
Используем вогнутость \(\sqrt{x}\) с весами \(\frac23\) и \(\frac13\): \(\frac23\sqrt{x}+\frac13\sqrt{y}\le\sqrt{\frac{2x+y}{3}}\). Умножаем на \(3\).
Пример 8. \(x\ln x\)
Выражения \(x^x\) часто сводятся к функции \(x\ln x\).
Задача. Пусть \(x,y,z>0\), \(x+y+z=3\). Докажите \(x^x y^y z^z\ge1\).
Функция \(f(t)=t\ln t\) выпукла при \(t>0\). По Йенсену \(\frac{x\ln x+y\ln y+z\ln z}{3}\ge 1\cdot\ln1=0\). Значит, \(\ln(x^x y^y z^z)\ge0\), откуда \(x^x y^y z^z\ge1\).
Глава
UVW-метод и симметрические неравенства
Ключевая идея
UVW-метод работает с симметрическими неравенствами от трёх переменных. Вместо \(a,b,c\) мы смотрим на \(p=a+b+c\), \(q=ab+bc+ca\), \(r=abc\). Часто после фиксации \(p,q\) выражение зависит от \(r\) просто, и самый трудный случай возникает на границе или при двух равных переменных.
Основные факты
Главные обозначения: \(p=a+b+c\), \(q=ab+bc+ca\), \(r=abc\). Полезные формулы:
\[a^2+b^2+c^2=p^2-2q,\qquad a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r.\]
Также \(\sum_{\mathrm{sym}}a^2b=pq-3r\), где \(\sum_{\mathrm{sym}}a^2b=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\). Schur degree \(3\): \[p^3-4pq+9r\ge0.\]
Когда применять метод
Метод подходит, когда неравенство симметрично по \(a,b,c\), равенство ожидается при \(a=b=c\) или при двух равных переменных, а выражение можно переписать через \(p,q,r\). Особенно полезен для степеней \(3\) и \(4\), Schur-type неравенств и задач с фиксированной суммой.
Как распознать метод
Проверьте, не меняется ли задача при перестановке \(a,b,c\). Затем найдите степень и попробуйте выразить суммы через \(p,q,r\). Если при фиксированных \(p,q\) остаётся линейная зависимость от \(r\), стоит проверить случаи \(b=c\) и \(c=0\).
Типичные ошибки
Нельзя применять UVW к несимметрическому выражению. Не путайте симметрическую сумму \(\sum_{\mathrm{sym}}\) с циклической суммой. Ещё одна ошибка - проверять только \(a=b=c\): для доказательства обычно нужен случай двух равных переменных или граница.
Мини-чеклист
1. Неравенство симметрично? 2. Какие \(p,q,r\) появляются? 3. Фиксированы ли \(p\) или \(q\)? 4. Можно ли применить Schur? 5. Что дают случаи \(b=c\) и \(c=0\)? 6. Совпадает ли equality case с ответом?
Пример 1. Перевод в \(p,q,r\)
Задача. Выразите \(a^2+b^2+c^2\) и \(a^3+b^3+c^3\) через \(p,q,r\).
Из \(p^2=a^2+b^2+c^2+2q\) получаем \(\sum a^2=p^2-2q\). Кроме того, \(p^3=\sum a^3+3\sum_{\mathrm{sym}}a^2b+6r\), а \(\sum_{\mathrm{sym}}a^2b=pq-3r\), поэтому \(\sum a^3=p^3-3pq+3r\).
Пример 2. Симметрическая сумма
Задача. Докажите \(\sum_{\mathrm{sym}}a^2b=pq-3r\).
Раскрываем \(pq=(a+b+c)(ab+bc+ca)\). Получаем все шесть слагаемых \(a^2b,a^2c,\ldots,c^2b\) и ещё \(3abc\). Значит, \(\sum_{\mathrm{sym}}a^2b=pq-3r\).
Пример 3. Schur degree 3
Задача. Докажите \(\sum a^3+3abc\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^2b\).
Левая минус правая равна \((p^3-3pq+3r)+3r-(pq-3r)=p^3-4pq+9r\). Это форма Schur degree \(3\), значит выражение неотрицательно.
Пример 4. Проверка двух равных
Задача. Проверьте Schur degree \(3\) в случае \(b=c=1\), \(a=t\).
Неравенство становится \(t^3+2+3t\ge 2t^2+2t+2\), то есть \(t(t-1)^2\ge0\). Это типичная форма проверки двух равных переменных.
Пример 5. Максимум \(q\)
Задача. Докажите \(p^2\ge3q\).
\(p^2-3q=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\ge0\).
Пример 6. Максимум \(r\)
Задача. При \(a+b+c=p\) докажите \(abc\le\frac{p^3}{27}\).
По AM-GM, \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Поэтому \(abc\le(p/3)^3\). В языке UVW это согласуется с тем, что при фиксированном \(p\) максимум симметрического произведения достигается при \(a=b=c\).
Пример 7. Schur degree 4
Задача. Докажите \(\sum a^4+abc(a+b+c)\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^3b\).
Это Schur degree \(4\). По UVW достаточно проверить \(b=c\) и границу. При \(b=c=1\), \(a=t\), разность равна \(t^2(t-1)^2\ge0\); на границе получаем очевидную сумму квадратов. Значит, неравенство верно.
Пример 8. Не всё циклическое симметрично
Задача. Почему к \(a^3b+b^3c+c^3a\le a^4+b^4+c^4\) нельзя напрямую применять UVW?
Правая часть симметрична, но левая циклическая и меняется при перестановке \(a,b,c\). Поэтому UVW напрямую не применим; эту задачу лучше решать rearrangement или суммировать все перестановки.
Глава
Однородные неравенства
Ключевая идея
Однородное неравенство не меняет сути при одновременном умножении всех переменных на одно и то же положительное число. Поэтому можно выбрать удобную нормировку: \(a+b+c=1\), \(abc=1\), \(a+b+c=3\) или \(c=1\).
Основные факты
Выражение имеет степень \(d\), если при замене \(a,b,c\) на \(ta,tb,tc\) оно умножается на \(t^d\). Неравенство однородно, если обе стороны имеют одну и ту же степень. Например, \(\sum a^2\ge ab+bc+ca\) имеет степень \(2\), а \(\sum a/(b+c)\ge3/2\) имеет степень \(0\).
Когда применять метод
Нормировка полезна, когда выражение громоздкое, но все члены имеют одну степень. Фиксируйте сумму для задач с \(a+b+c\), произведение для задач с \(abc\), а одну переменную для двухпеременных или дробных задач степени \(0\).
Как распознать метод
Проверьте, что произойдёт при замене \(a,b,c\to ta,tb,tc\). Если обе стороны умножаются на один и тот же множитель, можно нормировать. Если есть константа, убедитесь, что выражение степени \(0\), или сначала гомогенизируйте её через \(a+b+c\), \(abc\) или другую фиксированную величину.
Типичные ошибки
Нельзя ставить \(a+b+c=1\) в неодноородном неравенстве. Нельзя нормировать \(abc=1\), если переменные могут быть нулевыми. Ещё одна ошибка - после нормировки забыть вернуться к исходной форме или потерять случай равенства.
Мини-чеклист
1. Какова степень каждой части? 2. Все переменные положительны? 3. Какая нормировка упростит выражение? 4. Что станет с равенством? 5. Нужно ли сначала гомогенизировать константу?
Пример 1. Проверка степени
Задача. Найдите степень выражений \(\frac{a^2}{b+c}\), \(\frac{a}{b+c}\), \(abc(a+b+c)\).
Первое имеет степень \(1\), второе степень \(0\), третье степень \(4\). Это видно после замены \(a,b,c\) на \(ta,tb,tc\).
Пример 2. Нормировка суммы
Задача. Докажите \(\sum a^2\ge\frac{(a+b+c)^2}{3}\).
Неравенство однородно степени \(2\). Можно положить \(a+b+c=1\). Тогда нужно доказать \(\sum a^2\ge1/3\), что следует из Cauchy: \((a+b+c)^2\le3\sum a^2\).
Пример 3. Нормировка произведения
Задача. Докажите \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\).
При \(abc>0\) можно разделить переменные на \(\sqrt[3]{abc}\) и получить новую тройку с произведением \(1\). Тогда задача сводится к \(x+y+z\ge3\), что есть AM-GM.
Пример 4. Степень ноль
Задача. Докажите \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32\).
Выражение имеет степень \(0\), поэтому можно положить \(a+b+c=1\). Тогда \(b+c=1-a\), и неравенство становится \(\sum\frac{a}{1-a}\ge3/2\), что следует из Nesbitt или Cauchy.
Пример 5. Гомогенизация константы
Задача. При \(a+b+c=1\) докажите \(ab+bc+ca\le\frac13\).
В однородной форме это \(ab+bc+ca\le\frac{(a+b+c)^2}{3}\), то есть \(3q\le p^2\). Это верно, потому что \(p^2-3q=\frac12\sum(a-b)^2\ge0\).
Пример 6. Нормировка одной переменной
Задача. Почему в неравенстве \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\) можно положить \(b=1\)?
Выражение имеет степень \(0\): при замене \(a,b\) на \(ta,tb\) оно не меняется. Поэтому можно разделить обе переменные на \(b\) и получить \(x=a/b\), \(b=1\).
Пример 7. Дроби степени один
Задача. Докажите \(\sum\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{a+b+c}{2}\).
По Cauchy \(\sum\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\). Однородность объясняет, почему можно было заранее поставить \(a+b+c=1\).
Пример 8. Проверка права на нормировку
Задача. Почему нельзя без условия положить \(a+b+c=1\) в неравенстве \(a^2+b^2+c^2\ge1\)?
Левая часть имеет степень \(2\), а правая - степень \(0\). Неравенство не однородно и меняется при масштабировании. Такая нормировка изменит задачу.
Глава
Методы подстановки
Ключевая идея
Подстановка нужна не для красоты, а чтобы превратить выражение в более знакомую форму: убрать отношения, встроить условие \(abc=1\), заменить стороны треугольника на суммы, избавиться от корней или использовать случай равенства.
Основные факты
Для отношений часто ставят \(x=a/b\). Если \(abc=1\), удобно искать переменные с произведением \(1\) или писать \(a=x/y\), \(b=y/z\), \(c=z/x\). Если \(a,b,c\) являются сторонами треугольника, полезна замена \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\), где \(x,y,z>0\).
Когда применять метод
Применяйте замену, когда условие выглядит неудобно, дроби содержат повторяющиеся отношения, есть корни \(\sqrt{a}\), стороны треугольника, ограничение \(x^2+y^2=1\), или равенство ожидается при \(a=b=c\).
Как распознать метод
Если встречаются \(a/b,b/c,c/a\), ищите произведение \(1\). Если есть \(b+c-a\), \(c+a-b\), \(a+b-c\), почти наверняка нужна треугольная замена. Если выражение содержит \(\sqrt{ab}\), попробуйте \(a=x^2\), \(b=y^2\).
Типичные ошибки
Нельзя делать замену без проверки обратимости и области: \(x,y,z\) должны быть положительными там, где это требуется. В треугольной замене нужно помнить \(x=(b+c-a)/2\), \(y=(c+a-b)/2\), \(z=(a+b-c)/2\). После решения надо вернуться к исходным переменным.
Мини-чеклист
1. Какое условие мешает? 2. Что станет проще после замены? 3. Обратима ли замена? 4. Сохраняется ли положительность? 5. Где находится случай равенства?
Пример 1. Отношение \(a/b\)
Задача. Докажите \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\).
Положим \(x=a/b>0\). Тогда нужно доказать \(x+\frac1x\ge2\), что равносильно \((x-1)^2\ge0\).
Пример 2. Циклические отношения
Задача. Докажите \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\).
Положим \(x=a/b\), \(y=b/c\), \(z=c/a\). Тогда \(xyz=1\), и по AM-GM \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\).
Пример 3. Треугольная замена
Задача. Если \(a,b,c\) - стороны треугольника, объясните замену \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\).
Берём \(x=(b+c-a)/2\), \(y=(c+a-b)/2\), \(z=(a+b-c)/2\). Для сторон треугольника эти числа положительны, и тогда \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\).
Пример 4. Стороны треугольника
Задача. Для сторон треугольника докажите \(a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)\).
Пусть \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\). Тогда \(2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)=4(xy+yz+zx)>0\).
Пример 5. Убрать корни
Задача. Докажите \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\).
Положим \(a=x^2\), \(b=y^2\), \(c=z^2\). Тогда нужно доказать \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\), что следует из \(\frac12((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)\ge0\).
Пример 6. Отклонения от равенства
Задача. Если \(a+b+c=3\), докажите \(\sum a^2\ge3\).
Положим \(a=1+x\), \(b=1+y\), \(c=1+z\), где \(x+y+z=0\). Тогда \(\sum a^2=3+2(x+y+z)+x^2+y^2+z^2=3+\sum x^2\ge3\).
Пример 7. Тригонометрический preview
Задача. Если \(x^2+y^2=1\), \(x,y\ge0\), докажите \(xy\le1/2\).
Можно написать \(x=\cos t\), \(y=\sin t\). Тогда \(xy=\frac12\sin 2t\le1/2\). Это только предварительный пример: часто достаточно и алгебры.
Пример 8. Замена из знаменателей
Задача. Для сторон треугольника докажите \(\sum\frac{a}{b+c-a}\ge3\).
Пусть \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\). Тогда \(b+c-a=2x\), и сумма равна \(\frac12\sum\frac{y+z}{x}\). Так как \(\sum\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge6\), получаем исходную сумму не меньше \(3\).
Глава
Неравенства с ограничениями
Ключевая идея
Ограничение в неравенстве обычно говорит, где искать экстремум. При фиксированной сумме выражения с выпуклыми функциями минимальны при равных переменных, а выражения с вогнутыми функциями часто максимальны при равных переменных. При фиксированном произведении естественно применять AM-GM и замену \(abc=1\).
Основные факты
Если \(a+b+c=S\), то \(\sum a^2\ge S^2/3\), \(ab+bc+ca\le S^2/3\), \(abc\le(S/3)^3\). Если \(abc=P\), то \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{P}\) и \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{P^2}\). При фиксированном \(q=ab+bc+ca\) полезны связи \(p^2\ge3q\) и \(q^2\ge3pr\).
Когда применять метод
Используйте этот подход, когда в условии явно фиксированы сумма, произведение, \(ab+bc+ca\), сумма квадратов или среднее значение. Тогда задача часто становится задачей на максимум или минимум одной симметрической величины.
Как распознать метод
Если равенство ожидается при \(a=b=c\), сначала пробуйте Jensen, AM-GM, Cauchy или UVW. Если переменные неотрицательны и сумма фиксирована, максимум некоторых выражений может быть на границе: например, \(\sum a^2\) максимально при \(S,0,0\).
Типичные ошибки
Не путайте максимум и минимум: при фиксированной сумме \(\sum a^2\) минимальна при равенстве, но максимальна на границе. Нельзя использовать \(abc=1\), если переменные могут быть нулевыми. Всегда проверяйте, достигается ли равенство в допустимой области.
Мини-чеклист
1. Что именно фиксировано? 2. Ищем максимум или минимум? 3. Равенство при равных переменных или на границе? 4. Нужен ли Jensen, AM-GM, Cauchy или UVW? 5. Проверен ли случай равенства?
Пример 1. Минимум квадратов
При фиксированной сумме сумма квадратов минимальна при равенстве.
Задача. Пусть \(a+b+c=6\). Найдите минимум \(a^2+b^2+c^2\).
По Cauchy, \((a+b+c)^2\le3(a^2+b^2+c^2)\). Значит, \(36\le3\sum a^2\), то есть \(\sum a^2\ge12\). Равенство при \(a=b=c=2\).
Пример 2. Максимум произведения
При фиксированной сумме произведение положительных чисел максимально при равенстве.
Задача. Если \(a+b+c=9\), найдите максимум \(abc\).
По AM-GM, \(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}=3\). Поэтому \(abc\le27\). Равенство при \(a=b=c=3\).
Пример 3. Фиксированное произведение
При фиксированном произведении сумма минимальна при равенстве.
Задача. Если \(abc=8\), докажите \(a+b+c\ge6\).
По AM-GM, \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=6\). Равенство при \(a=b=c=2\).
Пример 4. Фиксированная сумма и \(q\)
Величина \(q=ab+bc+ca\) контролируется суммой.
Задача. Если \(a+b+c=1\), докажите \(ab+bc+ca\le1/3\).
\((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\). При \(a+b+c=1\) получаем \(q\le1/3\). Равенство при \(a=b=c=1/3\).
Пример 5. Сумма корней
Вогнутость корня даёт максимум при равных переменных.
Задача. Пусть \(x+y+z=12\), \(x,y,z\ge0\). Найдите максимум \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\).
По Jensen для \(\sqrt{x}\), \(\frac{\sum\sqrt{x}}{3}\le\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=2\). Максимум равен \(6\), достигается при \(x=y=z=4\).
Пример 6. Обратные величины
Фиксированная сумма и выпуклость \(1/x\) дают минимум суммы обратных.
Задача. Если \(a+b+c=3\), докажите \(\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge3\).
По Cauchy, \((1+1+1)^2\le(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)\). Так как сумма равна \(3\), получаем сумму обратных не меньше \(3\).
Пример 7. Максимум на границе
Не все экстремумы при фиксированной сумме находятся в равных переменных.
Задача. Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=5\). Найдите максимум \(a^2+b^2+c^2\).
Так как \(a^2\le5a\), \(b^2\le5b\), \(c^2\le5c\), то \(\sum a^2\le5(a+b+c)=25\). Равенство при \(5,0,0\) и перестановках.
Пример 8. Две фиксированные величины
Если известны \(a+b+c\) и \(ab+bc+ca\), сумма квадратов уже определена.
Задача. Если \(a+b+c=3\), \(ab+bc+ca=2\), найдите \(a^2+b^2+c^2\).
\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-4=5\).
Глава
Сложные задачи на неравенства
Ключевая идея
Сложная задача на неравенства редко решается одной известной формулой. Обычно нужно соединить два-три хода: нормировку, Cauchy, AM-GM, Jensen, UVW, замену или оценку отдельного выражения, которая затем телескопируется.
Основные факты
Главные инструменты этого модуля: Engel form, AM-GM с выбором множителей, Jensen для выпуклых и вогнутых функций, Schur/UVW для симметрических выражений, а также SOS-идеи: сведение разности к сумме квадратов или к произведению неотрицательных множителей.
Когда применять метод
Если стандартный метод даёт слабую оценку, ищите предварительную замену или дополнительную локальную оценку. Если выражение циклическое с корнями, попробуйте доказать одно неравенство для пары переменных и просуммировать его. Если есть несколько чисел с разностями, используйте сумму квадратов попарных разностей.
Как распознать метод
Симметрия подсказывает UVW; дроби с квадратами - Cauchy; фиксированная сумма и корни - Jensen; произведения и степени - AM-GM; условия про расстояния между числами - попарные разности; выражения вида \((x-y)\sqrt{\cdots}\) - сравнение корня с линейным выражением.
Типичные ошибки
Частая ошибка - применить сильную теорему без проверки области или направления. Ещё одна ошибка - получить верную, но слишком слабую оценку. В сложных задачах важно заранее понимать, какая величина должна телескопироваться или где должен появиться equality case.
Мини-чеклист
1. Есть ли нормировка? 2. Какой стандартный метод даёт первый шаг? 3. Где скрыт equality case? 4. Нужно ли доказать локальную оценку? 5. Суммируется ли результат в нужную форму? 6. Не слишком ли слаба полученная оценка?
Пример 1. Cauchy с фиксированной суммой знаменателей
Задача. При \(a+b+c=3\) докажите \(\sum\frac{a^2}{1+a}\ge\frac32\).
По Cauchy, \(\sum\frac{a^2}{1+a}\ge\frac{(a+b+c)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac32\).
Пример 2. Jensen после нормировки
Задача. При \(a+b+c=3\) докажите \(\sum\frac1{a^2+a+1}\ge1\).
Функция \(f(x)=1/(x^2+x+1)\) выпукла при \(x\ge0\). По Jensen \(\frac13\sum f(a)\ge f(1)=1/3\).
Пример 3. UVW-ход
Задача. Докажите \((a^2+b^2+c^2)^2\ge3abc(a+b+c)\).
Имеем \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=q\). Кроме того, \(q^2\ge3abc(a+b+c)\). Поэтому \((\sum a^2)^2\ge q^2\ge3abc(a+b+c)\).
Пример 4. Schur как смешанный метод
Задача. Докажите \(\sum a^4+abc(a+b+c)\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^3b\).
Это Schur degree \(4\). По UVW достаточно проверить \(b=c\) и границу: при \(b=c=1\), \(a=t\), разность равна \(t^2(t-1)^2\ge0\); на границе получается \((a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge0\).
Пример 5. Локальная оценка с корнем
Задача. Докажите: если \(u,v>0\), то \((v-u)\sqrt{u^2+3v^2}\ge v^2-u^2\).
Если \(v\ge u\), то \(\sqrt{u^2+3v^2}\ge u+v\). Если \(v\le u\), то \(\sqrt{u^2+3v^2}\le u+v\), а множитель \(v-u\) отрицателен, поэтому знак меняется. В обоих случаях получаем нужное.
Пример 6. Попарные разности
Задача. Для чисел \(x_1,\ldots,x_n\) докажите \(\sum_{i При раскрытии \(\sum_{i
Пример 7. Степенной зажим
Задача. Докажите при \(n>2\): \((n-2)^{n+2}(n+2)^{n-2} Так как \(n-2
Пример 8. Дискриминантный ход
Задача. Если \(A x^2+Bx+C>0\) при всех \(x\), что можно сказать о дискриминанте?
Необходимо \(A>0\) и \(B^2-4AC<0\). В сложных задачах часто строят другой квадратный трёхчлен с тем же дискриминантом.
Глава
Смешанные наборы неравенств
Ключевая идея
В смешанном наборе условие уже не говорит, какой метод применять. Главная работа ученика - увидеть форму выражения: дроби, степень, корень, симметрию, ограничение, экстремальный случай или скрытое тождество.
Основные факты
В модуле используются AM-GM, Cauchy в форме Энгеля, Holder, локальные оценки, Schur, тождества для попарных разностей и проверка случая равенства. Полезно помнить: дроби с суммой знаменателей часто про Cauchy; циклические кубы часто про локальную оценку; симметрические степени часто про Schur или степенные средние.
Когда применять метод
Если в знаменателях стоят суммы, сначала попробуйте Cauchy. Если выражение однородно, проверьте нормировку. Если есть \(a^3\), \(a^5\) и симметрия, ищите Schur. Если в условии есть несколько чисел и расстояния между ними, суммируйте квадраты попарных разностей.
Как распознать метод
Фраза “для всех действительных \(x\)” часто ведёт к дискриминанту. Корни вида \(\sqrt{u^2+3v^2}\) можно сравнивать с \(u+v\). Неравенства с \(a+b+c\) и \(abc\) часто требуют AM-GM или Schur. Если равенство ожидается при \(a=b=c\), ищите оценку, которая становится равенством именно там.
Типичные ошибки
Не стоит применять самый сильный знакомый метод механически. Частая ошибка - получить верную, но слишком слабую оценку. Другая ошибка - забыть, что при умножении на отрицательный множитель направление неравенства меняется. В смешанных задачах особенно важно проверять, совпадает ли полученный случай равенства с условием.
Мини-чеклист
1. Однородно ли выражение? 2. Есть ли естественный случай равенства? 3. Можно ли применить Cauchy к дробям? 4. Есть ли локальная оценка для одного слагаемого? 5. Нужно ли использовать Schur или степенные средние? 6. Не скрыто ли тождество для попарных разностей?
Пример 1. Прямой Cauchy
Этот пример напоминает, что метод иногда виден по сумме знаменателей.
Задача. Докажите \(\sum\frac{a}{b+c}\ge\frac32\) при \(a,b,c>0\).
По Cauchy, \(\sum\frac{a}{b+c}=\sum\frac{a^2}{a(b+c)}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge\frac32\).
Пример 2. Локальная оценка
Иногда одно слагаемое нужно заменить линейным выражением.
Задача. Докажите \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\) при \(x,y>0\).
После умножения на положительный знаменатель получаем \(3x^3\ge(2x-y)(x^2+xy+y^2)\). Разность равна \((x-y)^2(x+y)\ge0\).
Пример 3. Касательная оценка
Этот ход полезен, когда сумма переменных фиксирована.
Задача. Докажите при \(x\ge0\): \(\frac1{1+x^2}\ge\frac{2-x}{2}\).
Разность равна \(\frac{x(x-1)^2}{2(1+x^2)}\ge0\).
Пример 4. Holder для дробей
Куб в числителе часто просит Holder.
Задача. Докажите \(\sum\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\).
По Holder, \(\sum\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{(a+b+c)^3}{2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}\). Так как \(3(a+b+c)^2\ge2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca\), получаем требуемое.
Пример 5. Schur как распознавание симметрии
Когда степени симметричны, не всегда надо раскрывать всё вручную.
Задача. Докажите \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^2b\).
Это Schur степени \(3\): \(\sum a(a-b)(a-c)\ge0\). После раскрытия именно получаем данное неравенство.
Пример 6. Попарные разности
Ограничение на расстояния между числами редко используется по одному.
Задача. Для чисел \(x_1,\ldots,x_n\) докажите \(\sum_{i Раскройте квадраты: каждый \(x_i^2\) появляется \(n-1\) раз, а смешанные члены дают \(-2\sum_{i
Пример 7. Корень с направлением знака
Здесь важно не потерять знак множителя.
Задача. Докажите \((v-u)\sqrt{u^2+3v^2}\ge v^2-u^2\) при \(u,v>0\).
Если \(v\ge u\), то \(\sqrt{u^2+3v^2}\ge u+v\). Если \(v\le u\), то \(\sqrt{u^2+3v^2}\le u+v\), но \(v-u\le0\), поэтому направление после умножения меняется. В обоих случаях получаем \((v-u)\sqrt{u^2+3v^2}\ge(v-u)(u+v)\).
Пример 8. Дискриминантный ход
Фраза “положительно для всех \(x\)” почти всегда несёт информацию о дискриминанте.
Задача. Если \(Ax^2+Bx+C>0\) для всех действительных \(x\), докажите \(Cx^2+Bx+A>0\) для всех действительных \(x\).
Имеем \(A>0\), \(C=P(0)>0\), а дискриминант \(B^2-4AC<0\). У обратного трёхчлена ведущий коэффициент \(C>0\) и тот же дискриминант, значит он также положителен при всех \(x\).
Глава
Тренировочные олимпиады: неравенства
Ключевая идея
Mock-вариант проверяет не знание одной темы, а умение выбрать метод. В одном наборе могут встретиться Cauchy, AM-GM, Holder, Schur, локальные оценки, дискриминант и тождества для попарных разностей.
Основные факты
Перед началом варианта полезно помнить пять базовых ходов: дробь с суммой знаменателей часто решается Cauchy; произведения и фиксированное произведение - AM-GM; кубы в числителях - Holder или локальная оценка; симметрические степени - Schur; условия “для всех \(x\)” - дискриминант.
Когда применять метод
Если задача выглядит короткой, сначала ищите стандартный ход. Если стандартный ход даёт слабую оценку, пробуйте локальную замену или нормировку. Если переменных много и есть расстояния между ними, используйте сумму квадратов попарных разностей.
Как распознать метод
Равенство при \(a=b=c\) часто указывает на симметричную оценку. Равенство при крайних значениях чаще требует ограничения области или анализа границы. Если выражение однородно, можно нормировать одну величину; если неоднородно, сначала ищите фиксированную сумму или произведение.
Типичные ошибки
Не начинайте с самой трудной задачи варианта. Не используйте неравенство, не проверив направление и область. Не оставляйте решение на уровне “очевидно по AM-GM”: в олимпиадном решении нужно показать, какие именно слагаемые сравниваются.
Мини-чеклист
1. Найдите самый простой вход в вариант. 2. Отметьте вероятный случай равенства. 3. Проверьте Cauchy для дробей. 4. Проверьте AM-GM для произведений. 5. Для симметрических степеней вспомните Schur. 6. После решения проверьте, не была ли оценка слишком слабой.
Пример 1. Быстрый вход в вариант
Задача. Докажите \(\sum\frac{a^2}{ab+ac+bc}\ge1\).
По Cauchy, \(\sum\frac{a^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\ge1\).
Пример 2. Локальная оценка
Задача. Докажите \(\frac{x}{x^2+x+1}\le\frac13\).
Неравенство равносильно \(3x\le x^2+x+1\), то есть \((x-1)^2\ge0\).
Пример 3. Holder
Задача. Докажите \(\sum\frac{a^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\).
По Holder левая часть не меньше \(\frac{(a+b+c)^3}{2\sum a^2+\sum ab}\), а знаменатель не превосходит \(3(a+b+c)^2\).
Пример 4. Schur
Задача. Докажите \(\sum a^5+abc\sum a^2\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^4b\).
Это Schur: \(\sum a^3(a-b)(a-c)\ge0\). Раскрытие даёт требуемую форму.
Пример 5. Дискриминант
Задача. Если \(Ax^2+Bx+C>0\) при всех \(x\), докажите \(B^2<4AC\).
Квадратичная функция с положительным ведущим коэффициентом и вещественным корнем не была бы положительной всюду. Значит дискриминант отрицателен.
Пример 6. Попарные разности
Задача. Если \(y_1<\cdots Сразу получаем \(\sum_{i